क्रमचय एक गणना तकनीक है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि परिमित सेट के तत्वों को कितने तरीके से क्रमबद्ध किया जा सकता है। एक एक्सचेंज बनाने के लिए एक एक्सचेंज करना है और, कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं में, इसका मतलब है कि स्थान के तत्वों का आदान-प्रदान करना, उनके आदेश पर विचार करना।
ये तकनीकें गणित के एक क्षेत्र का हिस्सा हैं जिसे कॉम्बिनेटोरियल एनालिसिस कहा जाता है, जिसका उद्देश्य सेट और उनके तत्वों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों को जानना और गिनना है। सरल क्रमपरिवर्तन और दोहराए गए तत्वों के साथ इस श्रेणी की समस्याओं का समाधान करते हैं।
सरल क्रमपरिवर्तन
एक साधारण क्रमपरिवर्तन एक परिमित समुच्चय के तत्वों का क्रम है, जब उनका तत्वों की पुनरावृत्ति नहीं होती, अलग हैं। इसका उपयोग इस प्रकार की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
राशि n तत्वों के एक सेट का क्रमपरिवर्तन n के बराबर है! (एन फैक्टोरियल पढ़ता है)।
सरल क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने का सूत्र है
एन तत्वों के साथ एक सेट पर विचार करें। उन्हें एक कतार में व्यवस्थित करने के लिए, हमें पहले वाले को चुनना होगा, और उसके लिए हमारे पास n संभावनाएं हैं। दूसरे को चुनने के लिए, हमारे पास (n-1) संभावनाएं हैं, एक कम, क्योंकि पहले वाले को चुनते समय हमने पहले से ही एक विकल्प का उपयोग किया था। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि केवल एक तत्व शेष न रह जाए।
क्रमपरिवर्तन की कुल संख्या निर्धारित करने के लिए, हम प्रत्येक तत्व को चुनने में मौजूद संभावनाओं की संख्या को गुणा करते हैं। इस प्रकार:
ऊपर दिए गए व्यंजक को n का भाज्य कहते हैं और हम प्रतीक का प्रयोग करते हैं नहीं न!.
के बारे में अधिक जानने कारख़ाने का यहाँ पर।
उदाहरण:
किसी शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों को विपर्यय कहा जाता है। DUCK शब्द के कितने विपर्यय हैं?
ये हैं संभावनाएं:
इसलिए, चूंकि PATO शब्द में 4 अक्षर हैं, इसलिए हमें करना है
तो DUCK शब्द के लिए 24 सरल क्रमपरिवर्तन हैं।
सरल क्रमपरिवर्तन अभ्यास
प्रश्न 1
value के मान की गणना करें .
प्रश्न 2
लोगों की पहले आओ, पहले पाओ की कतार पर विचार करें, जहां किसी भी समय छह लोग हों। इन लोगों को पहले से आखिरी तक कितने अलग-अलग तरीकों से रैंक किया जा सकता है?
प्रत्येक ऑर्डरिंग फॉर्म एक साधारण क्रमपरिवर्तन है, क्योंकि व्यक्ति अद्वितीय होते हैं और खुद को दोहराते नहीं हैं। तो, छह लोगों के साथ, उत्तर 6 तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन है।
प्रश्न 3
FORK शब्द पर विचार करें और निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें?
a) FORK शब्द के कितने विपर्यय हैं?
चूंकि अक्षरों को दोहराया नहीं जाता है, यह एक साधारण 5-तत्व क्रमपरिवर्तन मामला है।
b) A अक्षर से कितने विपर्यय शुरू होते हैं?
इस मामले में, हम शुरुआत में अक्षर ए को ठीक करते हैं और जीआरएफओ अक्षरों के साथ क्रमपरिवर्तन की गणना करते हैं, जो 4 तत्वों के क्रमपरिवर्तन हैं।
अक्षर A x. के लिए १ संभावना .
ग) यदि स्वर हमेशा एक दूसरे के बगल में हों तो कितने विपर्यय होंगे?
एक संभावना जी आर एफ ए ओ होगी।
व्यंजन ऑर्डर करने के तीन तरीके हैं। P3 = 3 x 2 x 1 = 6
स्वरों को क्रमबद्ध करने के दो तरीके हैं। P2 = 2 x 1 = 2
समूहों (व्यंजन और स्वर) को आपस में व्यवस्थित करने के अभी भी दो और तरीके हैं। P2 = 2 x 1 = 2
अब बस परिणामों को गुणा करें।
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
तो 24 विपर्यय ऐसे हैं जहाँ स्वर हमेशा एक साथ होते हैं।
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन
दोहराए गए तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन तब होता है जब n तत्वों के एक सेट में, उनमें से कुछ बराबर होते हैं।
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने के सूत्र में, हम तत्वों की कुल संख्या के भाज्य को दोहराए जाने वाले तत्वों के भाज्य के गुणनफल से विभाजित करते हैं।
n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या है।
यह दोहराए जाने वाले प्रत्येक प्रकार के तत्वों की संख्या है।
तत्वों की कुल संख्या n का भाज्य है।
उदाहरण
आइए निर्धारित करें कि ईजीजी शब्द के लिए कितने क्रमपरिवर्तन हैं। इसे आसान बनाने के लिए, आइए अक्षरों को रंग दें। आइए ईजीजी शब्द के विपर्यय को देखें।
3 तत्वों के साथ सरल क्रमपरिवर्तन की संख्या द्वारा दी गई है
हालाँकि, कुछ क्रमपरिवर्तन दोहराए जाते हैं और हम उन्हें दो बार नहीं गिन सकते। इसके लिए हमें के मान को विभाजित करना होगा (क्योंकि शब्द में तीन अक्षर हैं), by
(क्योंकि O अक्षर दो बार दोहराया जाता है)।
इस प्रकार, OVO शब्द के अक्षरों के लिए क्रमपरिवर्तन की संख्या 3 के बराबर है।
आइए इस अन्य उदाहरण को देखें जहां हम BANANA शब्द के अक्षरों के लिए क्रमपरिवर्तन की संख्या को परिभाषित करेंगे।
कहा पे:
मतलब 6 तत्वों के साथ क्रमपरिवर्तन जहां अक्षर ए और एन दोहराया जाता है।
3! अक्षर A के लिए खुद को तीन बार दोहराता है।
2! एन अक्षर के लिए दो बार दोहराया जाता है।
गणना को आसान बनाने के लिए एक टिप 6 को विकसित करना है! जब तक आप 3 तक नहीं पहुंच जाते!, हर के साथ सरल करते हुए। विकास देखें।
इस प्रकार, BANANA शब्द में अक्षरों के क्रमपरिवर्तन की संख्या 60 के बराबर है।
शायद आप कॉम्बिनेटोरियल एनालिसिस पर इन सामग्रियों में रुचि रखते हैं:
संयुक्त विश्लेषण
संयुक्त विश्लेषण पर अभ्यास
