गणित में, फलन दो समुच्चयों के तत्वों के जुड़ाव से मेल खाता है, अर्थात्, फलन इंगित करता है कि तत्व कैसे संबंधित हैं।
उदाहरण के लिए, ए से बी तक एक फ़ंक्शन का अर्थ है सेट ए से संबंधित प्रत्येक तत्व को ए के साथ जोड़ना केवल तत्व जो समुच्चय B को बनाता है, इसलिए A के मान को दो मानों से नहीं जोड़ा जा सकता है बी का
समारोह संकेतन: एफ: ए → बी (पढ़ें: ए से बी तक एफ)।
कार्यों का प्रतिनिधित्व
एक भूमिका में एफ: ए → बी सेट ए को डोमेन (डी) कहा जाता है और सेट बी को काउंटरडोमेन (सीडी) कहा जाता है।
ए के एक तत्व से संबंधित बी के एक तत्व को फ़ंक्शन द्वारा छवि नाम दिया गया है। बी की सभी छवियों को समूहीकृत करके हमारे पास एक छवि सेट है, जो डोमेन का सबसेट है।
उदाहरण: सेट ए = {1, 2, 3, 4} और बी = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} पर ध्यान दें, जो कि तत्वों के बीच संबंध निर्धारित करता है। एफ: A → B, x → 2x है। इसलिए, एफ(x) = 2x और समुच्चय A में प्रत्येक x, समुच्चय B में 2x में रूपांतरित हो जाता है।
ध्यान दें कि ए {1, 2, 3, 4} का सेट इनपुट है, "2 से गुणा करें" फ़ंक्शन है और बी {2, 4, 6, 8} का मान है, जो के तत्वों से जुड़ता है ए, आउटपुट मान हैं।
तो इस भूमिका के लिए:
- डोमेन {1, 2, 3, 4} है
- काउंटरडोमेन {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} है।
- छवि सेट {2, 4, 6, 8} है
कार्यों के प्रकार
भूमिकाओं को उनके गुणों के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। नीचे मुख्य प्रकार देखें।
ओवरजेट फ़ंक्शन
पर विशेषण कार्य काउंटरडोमेन छवि सेट के समान है। अतः B का प्रत्येक अवयव A के कम से कम एक अवयव का प्रतिबिम्ब है।
संकेतन: एफ: ए → बी, आईएम (एफ) = बी to के लिए होता है
उदाहरण:
उपरोक्त समारोह के लिए:
- डोमेन {-4, -2, 2, 3} है
- काउंटरडोमेन {12, 4, 6} है
- छवि सेट {12, 4, 6} है
इंजेक्टर फ़ंक्शन
पर इंजेक्शन समारोह ए के सभी तत्वों के बी में अलग-अलग समकक्ष हैं और ए के तत्वों में से कोई भी बी में समान छवि साझा नहीं करता है। हालांकि, बी में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो ए में किसी भी तत्व से संबंधित नहीं हैं।
उदाहरण:
उपरोक्त समारोह के लिए:
- डोमेन {0, 3, 5} है
- काउंटरडोमेन {1, 2, 5, 8} है
- छवि सेट {1, 5, 8} है
बिजेक्टर फ़ंक्शन
पर बिजटोरा समारोह सेट में समान संख्या में संबंधित तत्व होते हैं। यह फ़ंक्शन यह नाम प्राप्त करता है क्योंकि यह इंजेक्शन और विशेषण दोनों है।
उदाहरण:
उपरोक्त समारोह के लिए:
- डोमेन {-1, 1, 2, 4} है
- काउंटरडोमेन {2, 3, 5, 7} है
- छवि सेट {2, 3, 5, 7} है
उलटा काम करना
उलटा काम करना यह एक प्रकार का बायजेक्टर फ़ंक्शन है, इसलिए यह एक ही समय में विशेषण और इंजेक्शन दोनों है।
इस प्रकार के फ़ंक्शन के माध्यम से तत्वों को उल्टा करके नए फ़ंक्शन बनाना संभव है।
समग्र कार्य
समग्र कार्य एक प्रकार का गणितीय फलन है जो दो या दो से अधिक चरों को जोड़ता है।
दो फ़ंक्शन, f और g, को निम्न से मिलकर बने फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:
कोहरा (एक्स) = एफ (जी (एक्स))
गोफ (एक्स) = जी (एफ (एक्स))
मॉड्यूलर फ़ंक्शन
मॉड्यूलर फ़ंक्शन तत्वों को मॉड्यूल में जोड़ता है और उनकी संख्या हमेशा सकारात्मक होती है।
संबंधित कार्य
एफाइन फंक्शन, जिसे प्रथम डिग्री फ़ंक्शन भी कहा जाता है, की वृद्धि दर और एक स्थिर अवधि होती है।
एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी + बी
एक ढलान
बी: रैखिक गुणांक
रैखिक प्रकार्य
रैखिक प्रकार्य एफ़िन फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है, जिसे f(x) = ax के रूप में परिभाषित किया जा रहा है।
जब फलन के x के साथ आने वाले गुणांक (a) का मान 1 के बराबर होता है, तो रैखिक फलन एक पहचान फलन होता है।
द्विघात फंक्शन
द्विघात फंक्शन इसे द्वितीय डिग्री फलन भी कहते हैं।
एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी2+ बीएक्स + सी, जहां एक ≠ 0
ए, बी और सी: डिग्री 2 के बहुपद कार्य के गुणांक।
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन आधार a का प्रतिनिधित्व f(x) = log. द्वारा किया जाता है x, एक सकारात्मक वास्तविक और 1 होने के नाते।
जब हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को उल्टा करते हैं, तो हमारे पास एक घातीय फ़ंक्शन होता है।
घातांक प्रकार्य
घातांक प्रकार्य घातांक में एक चर प्रस्तुत करता है और आधार हमेशा शून्य से बड़ा और एक से भिन्न होता है।
एफ (एक्स) = एएक्स, जहां एक > 0 और एक ≠ 0
बहुपदीय फलन
बहुपदीय फलन बहुपद अभिव्यक्तियों द्वारा परिभाषित किया गया है।
एफ (एक्स) = एनहीं न. एक्सनहीं न + दएन - 1. एक्सएन - 1 + ...+ए2 . एक्स2 + द1. एक्स + ए0
नहीं न, एएन-1,..., ए2, ए1, ए0: जटिल आंकड़े
n: पूर्णांक
एक्स: जटिल चर
त्रिकोणमितीय कार्य
पर त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणमितीय चक्र में घुमावों से संबंधित हैं, जैसे:
ज्या फलन: f (x) = sin x
कोज्या फलन: f (x) = cos x
स्पर्शरेखा फलन: f (x) = tg x
एक समारोह का ग्राफ
जिस तरह से एक तत्व y एक तत्व x से संबंधित है, उसे एक ग्राफ के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार का एक विचार देता है।
ग्राफ पर प्रत्येक बिंदु x और y की एक क्रमबद्ध जोड़ी द्वारा दिया गया है, जहां x इनपुट मान है और y फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित संबंध का परिणाम है, अर्थात x → फ़ंक्शन → y।
एक ग्राफ बनाने के लिए, फ़ंक्शन के प्रत्येक x तत्व को क्षैतिज अक्ष (एब्सिसा) पर रखा जाना चाहिए और y तत्वों को ऊर्ध्वाधर अक्ष (ऑर्डिनेट) पर रखा जाना चाहिए।
फ़ंक्शन ग्राफ़ के कुछ उदाहरण देखें।
कार्यों के अपने ज्ञान का परीक्षण करने के लिए निम्नलिखित अभ्यास सूचियों का प्रयोग करें।
- एफाइन फंक्शन पर व्यायाम (पहली डिग्री)
- द्विघात फलन पर व्यायाम (द्वितीय अंश)
- घातीय कार्य पर अभ्यास
