पाइथागोरस प्रमेय: हल और टिप्पणी किए गए अभ्यास

पाइथागोरस प्रमेय इंगित करता है कि, एक समकोण त्रिभुज में, वर्ग कर्ण माप टांगों के मापों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इस महत्वपूर्ण सामग्री के बारे में अपने सभी संदेहों का उत्तर देने के लिए हल किए गए और टिप्पणी किए गए अभ्यासों का लाभ उठाएं।

प्रस्तावित अभ्यास (संकल्प के साथ)

प्रश्न 1

कार्लोस और एना उसी इमारत के गैरेज से काम करने के लिए घर से निकले जहां वे रहते हैं। 1 मिनट के बाद, एक लंबवत पथ का अनुसरण करते हुए, वे 13 मीटर दूर थे।

यदि उस दौरान कार्लोस की कार एना की कार से 7 मीटर अधिक चलती, तो वे गैरेज से कितनी दूर थीं?

a) कार्लोस गैरेज से 10 मीटर और एना 5 मीटर दूर था।
b) कार्लोस गैरेज से 14 मीटर और एना 7 मीटर दूर था।
c) कार्लोस गैरेज से 12 मीटर और एना 5 मीटर दूर था।
d) कार्लोस गैरेज से 13 मीटर और एना 6 मीटर दूर था।

उत्तर देखो

सही उत्तर: c) कार्लोस गैरेज से 12 मीटर और एना 5 मीटर दूर था।

इस प्रश्न में बने समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं:

• कर्ण: 13 वर्ग मीटर
• बड़ा पैर: 7 + x
• छोटा पैर: x

पाइथागोरस प्रमेय में मानों को लागू करने पर, हमारे पास है:

अब हम x का मान ज्ञात करने के लिए भास्कर सूत्र का प्रयोग करते हैं।

चूंकि यह लंबाई का माप है, इसलिए हमें सकारात्मक मान का उपयोग करना चाहिए। इसलिए, इस प्रश्न में बने समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं:

• कर्ण: 13 वर्ग मीटर
• बड़ा पैर: 7 + 5 = 12 वर्ग मीटर
• छोटा पैर: x = 5 मी

इस प्रकार, एना गैरेज से 5 मीटर और कार्लोस 12 मीटर दूर था।

प्रश्न 2

कार्ला ने अपने बिल्ली के बच्चे की तलाश में उसे एक पेड़ के ऊपर देखा। फिर उसने अपनी माँ से मदद मांगी और उन्होंने बिल्ली को नीचे लाने में मदद करने के लिए पेड़ के पास एक सीढ़ी लगा दी।

यह जानते हुए कि बिल्ली जमीन से 8 मीटर की दूरी पर है और सीढ़ी का आधार पेड़ से 6 मीटर की दूरी पर स्थित है, बिल्ली के बच्चे को बचाने के लिए सीढ़ी का उपयोग कितने समय में किया गया था?

ए) 8 मीटर।
बी) 10 मीटर।
सी) 12 मीटर।
डी) 14 मीटर।

उत्तर देखो

सही उत्तर: बी) 10 मीटर।

ध्यान दें कि बिल्ली जिस ऊंचाई पर है और सीढ़ी के आधार को जिस दूरी पर रखा गया है, वह एक समकोण, यानी 90-डिग्री का कोण है। चूंकि सीढ़ी समकोण के विपरीत स्थित है, तो इसकी लंबाई समकोण त्रिभुज के कर्ण से मेल खाती है।

पाइथागोरस प्रमेय में दिए गए मानों को लागू करने पर हम कर्ण का मान ज्ञात करते हैं।

अतः सीढ़ी 10 मीटर लंबी है।

प्रश्न 3

नीचे दिए गए विकल्पों में दिए गए उपायों के अनुसार एक समकोण त्रिभुज का मान कौन सा प्रस्तुत करता है?

ए) 14 सेमी, 18 सेमी और 24 सेमी
बी) 21 सेमी, 28 सेमी और 32 सेमी
सी) 13 सेमी, 14 सेमी और 17 सेमी
डी) 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी

उत्तर देखो

सही उत्तर: डी) 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी।

यह पता लगाने के लिए कि क्या प्रस्तुत उपाय एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, हमें प्रत्येक विकल्प के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना चाहिए।

ए) 14 सेमी, 18 सेमी और 24 सेमी

बी) 21 सेमी, 28 सेमी और 32 सेमी

सी) 13 सेमी, 14 सेमी और 17 सेमी

डी) 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी

इसलिए, माप 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुरूप हैं, क्योंकि कर्ण का वर्ग, सबसे लंबी भुजा, पैरों के वर्ग के योग के बराबर है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित ज्यामितीय आकृतियों पर ध्यान दें, जिनकी एक भुजा 3 मी, 4 मी और 5 मी मापने वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण में स्थित है।

समबाहु त्रिभुज BCD की ऊँचाई (h) और वर्ग BCFG का विकर्ण मान (d) ज्ञात कीजिए।

ए) एच = 4.33 मीटर और डी = 7.07 एम
बी) एच = 4.72 मीटर और डी = 8.20 मीटर
सी) एच = 4.45 मीटर और डी = 7.61 एम
डी) एच = 4.99 मीटर और डी = 8.53 एम

उत्तर देखो

सही उत्तर: ए) एच = 4.33 मीटर और डी = 7.07 मीटर।

त्रिभुज समबाहु है, इसका अर्थ है कि इसकी तीनों भुजाओं का माप समान है। त्रिभुज की ऊंचाई के अनुरूप एक रेखा खींचकर, हम इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

चौक के साथ भी ऐसा ही है। जब हम इसकी विकर्ण रेखा खींचते हैं, तो हमें दो समकोण त्रिभुज दिखाई देते हैं।

पाइथागोरस के प्रमेय में कथन से डेटा को लागू करने पर, हम मान इस प्रकार पाते हैं:

1. त्रिभुज की ऊंचाई की गणना (दायां त्रिभुज पैर):

फिर हम ऊँचाई की गणना के सूत्र पर पहुँचते हैं। अब, केवल L के मान को प्रतिस्थापित करें और इसकी गणना करें।

2. वर्ग के विकर्ण की गणना (समकोण त्रिभुज का कर्ण):

अतः समबाहु त्रिभुज BCD की ऊँचाई 4.33 तथा वर्ग BCFG का विकर्ण मान 7.07 है।

यह भी देखें: पाइथागोरस प्रमेय

प्रवेश परीक्षा के मुद्दों का समाधान

प्रश्न 5

(सीफेट/एमजी - 2016) एक पतंग, जिसकी आकृति नीचे दी गई है, को ABCD चतुर्भुज के आकार में बनाया गया था, तथा . छड़ी पतंग की छड़ को काटती है इसके मध्य बिंदु E पर, एक समकोण बनाते हुए। इस पतंग के निर्माण में के उपाय क्रमशः 25 सेमी और 20 सेमी, और की माप का उपयोग किया जाता है बराबरी के माप के .

इन शर्तों के तहत, का उपाय , सेमी में, बराबर है

ए) 25.
बी) 40.
ग) 55.
घ) 70.

उत्तर देखो

सही विकल्प: ग) 55.

प्रश्न आकृति को देखने पर, हम देखते हैं कि DE खंड, जिसे हम खोजना चाहते हैं, BE खंड को घटाकर BD खंड के समान है।

इसलिए, जैसा कि हम जानते हैं कि खंड BE 20 सेमी के बराबर है, तो हमें खंड BD का मान ज्ञात करना होगा।

ध्यान दें कि समस्या हमें निम्नलिखित जानकारी देती है:

अतः BD का माप ज्ञात करने के लिए हमें खण्ड AC का मान जानना होगा।

चूँकि बिंदु E खंड को दो बराबर भागों (मध्य बिंदु) में विभाजित करता है, तो . इसलिए, पहला कदम CE खंड माप को खोजना है।

सीई माप को खोजने के लिए, हमने पहचाना कि त्रिभुज बीसीई एक आयत है, बीसी कर्ण है और बीई और सीई पैर हैं, जैसा कि नीचे की छवि में दिखाया गया है:

फिर हम पैर की माप ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस की प्रमेय लागू करेंगे।

25² = 20²+x²
६२५ = ४०० + x²
एक्स² = 625 - 400
एक्स² = 225
एक्स = √225
एक्स = 15 सेमी

कॉलर को खोजने के लिए, हम यह भी देख सकते थे कि त्रिभुज पाइथागोरस है, यानी, इसकी भुजाओं के माप त्रिभुज 3, 4, 5 के मापों की बहु संख्याएँ हैं।

इस प्रकार, जब हम 4 को 5 से गुणा करते हैं तो हमारे पास कॉलर (20) का मान होता है और यदि हम 5 को 5 से गुणा करते हैं तो हमारे पास कर्ण (25) होता है। इसलिए, दूसरा पैर केवल 15 (5. 3).

अब जब हमें EC मान मिल गया है, तो हम अन्य उपाय पा सकते हैं:

एसी = 2. सीई एसी = 2.15 = 30 सेमी

इसलिए, measure का माप 55 सेमी के बराबर है।

यह भी देखें: पाइथागोरस

प्रश्न 6

(IFRS - 2017) 5√3 भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज पर विचार करें। इस त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल क्रमशः क्या है?

उत्तर देखो

सही विकल्प: e) 7.5 सेमी और 75√3 / 4 सेमी²

सबसे पहले, आइए एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं और ऊँचाई को प्लॉट करते हैं, जैसा कि नीचे की छवि में दिखाया गया है:

ध्यान दें कि ऊंचाई आधार को समान माप के दो खंडों में विभाजित करती है, क्योंकि त्रिभुज समबाहु है। यह भी ध्यान दें कि आकृति में त्रिभुज ACD एक समकोण त्रिभुज है।

इस प्रकार, ऊँचाई की माप ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे:

ऊंचाई माप को जानने के बाद, हम सूत्र द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

प्रश्न 7

(IFRS - 2016) नीचे दिए गए चित्र में क्रमशः x और y का मान है

उत्तर देखो

सही विकल्प: a) 4√2 और √97।

x का मान ज्ञात करने के लिए, आइए पाइथागोरस के प्रमेय को उस समकोण त्रिभुज पर लागू करें जिसकी भुजाएँ 4 सेमी के बराबर हों।

एक्स² = 4² + 4²
एक्स² = 16 + 16
एक्स = 32
एक्स = 4√2 सेमी

y का मान ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का भी उपयोग करेंगे, अब यह मानते हुए कि एक पैर का माप 4 सेमी और दूसरा 9 सेमी (4 + 5 = 9) है।

आप² = 4² + 9²
आप² = 16 + 81
वाई = √97 सेमी

इसलिए, x और y का मान क्रमशः 4√2 और 97 है।

प्रश्न 8

(अपरेंटिस सेलर - 2017) नीचे दिए गए चित्र को देखें।

ऊपर की आकृति में, एक समद्विबाहु त्रिभुज ACD है, जिसमें खंड AB 3 सेमी मापता है, असमान भुजा AD 10√2 सेमी मापता है, और खंड AC और CD लंबवत हैं। इसलिए, यह कहना सही है कि बीडी खंड मापता है:

ए) 53 सेमी
बी) 97 सेमी
सी) √111 सेमी
घ) 149 सेमी
ई) √161 सेमी

उत्तर देखो

सही विकल्प: डी) √149 सेमी

समस्या में प्रस्तुत जानकारी को ध्यान में रखते हुए, हम नीचे दिए गए चित्र का निर्माण करते हैं:

आकृति के अनुसार, हम पाते हैं कि x का मान ज्ञात करने के लिए उस भुजा का माप ज्ञात करना आवश्यक होगा जिसे हम a कहते हैं।

चूँकि त्रिभुज ACD एक आयत है, हम पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग पाद a का मान ज्ञात करने के लिए करेंगे।

अब जबकि हम a का मान जानते हैं, हम समकोण त्रिभुज BCD पर विचार करके x का मान ज्ञात कर सकते हैं।

ध्यान दें कि लेग BC पैर की माप माइनस 3 सेमी, यानी 10 - 3 = 7 सेमी के बराबर है। पाइथागोरस के प्रमेय को इस त्रिभुज पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इसलिए, यह कहना सही है कि BD खंड का माप cm149 cm है।

प्रश्न 9

(आईएफआरजे - 2013) एक संघीय संस्थान के अरोजल परिसर का खेल यार्ड आयताकार, 100 मीटर लंबा और 50 मीटर चौड़ा है, जिसे इस आंकड़े में एबीसीडी आयत द्वारा दर्शाया गया है।

अल्बर्टो और ब्रूनो दो छात्र हैं, जो आंगन में खेल खेल रहे हैं। अल्बर्टो आयत के विकर्ण के साथ बिंदु A से बिंदु C तक चलता है और उसी पथ के साथ प्रारंभिक बिंदु पर लौटता है। ब्रूनो बिंदु बी से शुरू होता है, पूरी तरह से यार्ड के चारों ओर जाता है, साइड लाइनों के साथ चलता है, और शुरुआती बिंदु पर लौटता है। इस प्रकार, 5 = 2.24 पर विचार करते हुए, यह कहा गया है कि ब्रूनो अल्बर्टो से अधिक चला

ए) 38 मीटर।
बी) 64 मीटर।
सी) 76 मीटर।
डी) 82 मीटर।

उत्तर देखो

सही विकल्प: c) 76 मी.

आयत का विकर्ण इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है, कर्ण विकर्ण होता है और भुजाएँ आयत की भुजाओं के बराबर होती हैं।

तो, विकर्ण माप की गणना करने के लिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें:

जबकि अल्बर्टो गया और वापस आया, इसलिए उसने 224 मीटर की दूरी तय की।

ब्रूनो ने आयत की परिधि के बराबर दूरी तय की, दूसरे शब्दों में:

पी = १०० + ५० + १०० + ५०
पी = 300 एम

इसलिए, ब्रूनो अल्बर्टो (300 - 112 = 76 मीटर) से 76 मीटर लंबा चला।

प्रश्न 10

(एनेम - 2017) बच्चों की पार्टी टेबल को सजाने के लिए, शेफ 10 सेमी के व्यास के साथ एक गोलाकार तरबूज का उपयोग करेगा, जो विभिन्न मिठाइयों को तिरछा करने के लिए एक समर्थन के रूप में काम करेगा। यह खरबूजे से गोलाकार हबकैप हटा देगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, और, इस समर्थन की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए, खरबूजे के लिए मेज पर लुढ़कना मुश्किल बनाते हुए, बॉस काट देगा ताकि सर्कुलर कट सेक्शन की त्रिज्या r बालों वाली हो। माइनस 3 सेमी। दूसरी ओर, रसोइया उस क्षेत्र में सबसे बड़ा संभव क्षेत्र रखना चाहेगा जहां मिठाई तय की जाएगी।

अपने सभी लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए, बॉस को तरबूज की टोपी को ऊंचाई h, सेंटीमीटर में, के बराबर काटना चाहिए

उत्तर देखो

सही विकल्प: ग) 1

प्रश्न में प्रस्तुत आकृति का अवलोकन करते हुए, हमने पहचाना कि ऊँचाई h को गोले (R) की त्रिज्या के माप से खंड OA के माप को घटाकर पाया जा सकता है।

गोले की त्रिज्या (R) उसके आधे व्यास के बराबर है, जो इस स्थिति में 5 सेमी (10: 2 = 5) के बराबर है।

इसलिए हमें OA खंड का मान ज्ञात करना होगा। इसके लिए, हम नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए त्रिभुज OAB पर विचार करेंगे और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करेंगे।

5² = 3² + एक्स²
एक्स² = 25 - 9
एक्स = √16
एक्स = 4 सेमी

हम सीधे x का मान भी ज्ञात कर सकते हैं, यह देखते हुए कि यह पाइथागोरस त्रिभुज 3,4 और 5 है।

तो h का मान इसके बराबर होगा:

एच = आर - एक्स
एच = 5 - 4
एच = 1 सेमी

इसलिए रसोइया को खरबूजे की टोपी को 1 सेमी की ऊंचाई पर काटना चाहिए।

प्रश्न 11

(एनेम - २०१६ - दूसरा आवेदन) बोकिया कोर्ट पर खेला जाने वाला एक खेल है, जो समतल और समतल भूभाग हैं, परिधि लकड़ी के प्लेटफार्मों द्वारा सीमित हैं। इस खेल का उद्देश्य बॉल्स को फेंकना है, जो सिंथेटिक सामग्री से बनी गेंदें हैं, ताकि उन्हें जितना संभव हो सके बोलिम के पास रखें, जो कि एक छोटी गेंद है, अधिमानतः स्टील से बनी है, पहले लॉन्च किया गया। चित्र 1 एक बोक्से गेंद और एक बोलिम को दिखाता है जो एक कोर्ट पर खेली गई थी। मान लीजिए कि एक खिलाड़ी ने एक गेंद फेंकी है, जिसकी त्रिज्या 5 सेमी है, जो बोलिन के खिलाफ झुकी हुई है, 2 सेमी की त्रिज्या के साथ, जैसा कि आकृति 2 में दिखाया गया है।

बिंदु C को गेंद का केंद्र और बिंदु O को गेंद का केंद्र मानें। यह ज्ञात है कि ए और बी ऐसे बिंदु हैं जिन पर बोक्से बॉल और बॉलिन क्रमशः कोर्ट की जमीन को छूते हैं, और ए और बी के बीच की दूरी डी के बराबर होती है। इन शर्तों के तहत, d और बोलिम की त्रिज्या के बीच का अनुपात क्या है?

उत्तर देखो

सही विकल्प: ई) √10

बिंदु A और B के बीच की दूरी d के मान की गणना करने के लिए, आइए दो गोले के केंद्रों को मिलाने वाली एक आकृति बनाएं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

ध्यान दें कि नीली बिंदीदार आकृति एक ट्रेपेज़ के आकार की है। आइए इस ट्रेपेज़ को विभाजित करें, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

ट्रेपेज़ को विभाजित करके, हमें एक आयत और एक समकोण त्रिभुज मिलता है। त्रिभुज का कर्ण बॉलिम की त्रिज्या के साथ बोके बॉल की त्रिज्या के योग के बराबर होता है, यानी 5 + 2 = 7 सेमी।

एक पैर का माप d के बराबर है और दूसरे पैर का माप खंड CA के माप के बराबर है, जो कि बोके बॉल की त्रिज्या है, बोलिम की त्रिज्या घटाकर (5 - 2 = 3) .

इस तरह, हम इस त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए d का माप प्राप्त कर सकते हैं, जो है:

7² = 3² - का²
घ² = 49 - 9
डी = √40
डी = 2 √10

इसलिए, दूरी d और बोलिम के बीच का अनुपात निम्न द्वारा दिया जाएगा:.

प्रश्न 12

(एनेम - 2014) दैनिक, एक निवास में 20 160 Wh की खपत होती है। इस निवास में 100 सौर सेल हैं आयताकार (सूर्य के प्रकाश को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करने में सक्षम उपकरण) जिसकी माप 6 सेमी x 8 है से। मी। इनमें से प्रत्येक कोशिका दिन भर में 24 Wh प्रति सेंटीमीटर विकर्ण का उत्पादन करती है। इस घर का मालिक प्रतिदिन उतनी ही ऊर्जा का उत्पादन करना चाहता है जितनी कि उसका घर उपभोग करता है। अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए इस मालिक को उसके लिए क्या करना चाहिए?

ए) 16 कोशिकाओं को हटा दें।
बी) 40 कोशिकाओं को हटा दें।
ग) 5 सेल जोड़ें।
d) 20 सेल जोड़ें।
ई) ४० सेल जोड़ें।

उत्तर देखो

सही विकल्प: a) १६ सेल निकालें।

सबसे पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि प्रत्येक सेल का ऊर्जा उत्पादन क्या है। उसके लिए, हमें आयत के विकर्ण का माप ज्ञात करना होगा।

विकर्ण 8 सेमी और 6 सेमी के बराबर पैरों वाले त्रिभुज के कर्ण के बराबर है। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके विकर्ण की गणना करेंगे।

हालाँकि, हम ध्यान दें कि विचाराधीन त्रिभुज पाइथागोरस है, जो त्रिभुज ३,४ और ५ का गुणज है।

इस प्रकार, कर्ण की माप 10 सेमी के बराबर होगी, क्योंकि पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाओं को 3,4 और 5 में 2 से गुणा किया जाता है।

अब जब हम विकर्ण माप जानते हैं, तो हम 100 कोशिकाओं द्वारा उत्पादित ऊर्जा की गणना कर सकते हैं, अर्थात:

ई = 24. 10. 100 = 24 000 Wh 000

चूंकि खपत की गई ऊर्जा 20 160 Wh के बराबर है, इसलिए हमें कोशिकाओं की संख्या कम करनी होगी। इस नंबर को खोजने के लिए हम करेंगे:

२४ ००० - २० १६० = ३ ८४० Wh

इस मान को सेल द्वारा उत्पादित ऊर्जा से विभाजित करने पर, हमें वह संख्या ज्ञात होती है जिसे कम किया जाना चाहिए, अर्थात्:

३ ८४०: २४० = १६ सेल

इसलिए, अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए मालिक की कार्रवाई 16 कोशिकाओं को हटाने की होनी चाहिए।

अधिक जानने के लिए, यह भी देखें: त्रिकोणमिति अभ्यास