संख्यात्मक सेट अभ्यास

आप संख्यात्मक सेट निम्नलिखित सेट शामिल करें: प्राकृतिक (ℕ), पूर्णांक (ℤ), परिमेय (ℚ), अपरिमेय (I), वास्तविक (ℝ) और परिसर (ℂ)।

गणित के इस महत्वपूर्ण विषय पर अपने ज्ञान को सत्यापित करने के लिए टिप्पणी किए गए अभ्यासों का लाभ उठाएं।

प्रश्न 1

नीचे कौन सा प्रस्ताव सत्य है?

क) प्रत्येक पूर्ण संख्या परिमेय होती है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक पूर्णांक होती है।
b) परिमेय संख्याओं के समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के प्रतिच्छेदन में 1 अवयव होता है।
ग) संख्या १.८३३३३... एक परिमेय संख्या है।
d) दो पूर्ण संख्याओं का भाग सदैव एक पूर्ण संख्या होती है।

उत्तर देखो

सही विकल्प: c) संख्या १.८३३३३... एक परिमेय संख्या है।

आइए प्रत्येक कथन को देखें:

ए) झूठा। वास्तव में प्रत्येक पूर्ण संख्या परिमेय होती है, क्योंकि इसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या -7, जो एक पूर्णांक है, को भिन्न के रूप में -7/1 के रूप में लिखा जा सकता है। हालांकि, प्रत्येक वास्तविक संख्या एक पूर्णांक नहीं है, उदाहरण के लिए 1/2 एक पूर्णांक नहीं है।

बी) झूठा। परिमेय संख्याओं के समुच्चय में अपरिमेय संख्याओं के समान कोई संख्या नहीं होती है, क्योंकि वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है या अपरिमेय होती है। अत: प्रतिच्छेदन एक रिक्त समुच्चय है।

ग) सच। नंबर 1.83333... यह एक आवर्ती दशमांश है क्योंकि अंक 3 अपने आप को अनंत रूप से दोहराता है। इस संख्या को भिन्न के रूप में 11/6 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

घ) झूठा। उदाहरण के लिए, 7 को 3 से विभाजित करना 2.33333... के बराबर है, जो एक आवर्त दशमलव है, इसलिए यह एक पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 2

नीचे दिए गए व्यंजक का मान, जब a = 6 और b = 9 है, है:

ए) एक विषम प्राकृतिक संख्या
बी) एक संख्या जो अपरिमेय संख्याओं के समूह से संबंधित है
c) एक वास्तविक संख्या नहीं है
d) एक पूर्णांक जिसका मापांक 2. से बड़ा है

उत्तर देखो

सही विकल्प: d) एक पूर्णांक जिसका मापांक 2 से बड़ा है।

आइए पहले अक्षरों को संकेतित मानों से बदलें और अभिव्यक्ति को हल करें:

ध्यान दें कि (-6)² से अलग है - 6², पहला ऑपरेशन इस प्रकार किया जा सकता है: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. कोष्ठक के बिना, केवल 6 का वर्ग है, अर्थात - 6² = - (6.6) = -36.

संकल्प को जारी रखते हुए, हमारे पास है:

ध्यान दें कि चूंकि मूल का सूचकांक एक विषम संख्या (घनमूल) है, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का मूल होता है। यदि मूल अनुक्रमणिका एक सम संख्या होती, तो परिणाम एक सम्मिश्र संख्या होती।

अब, प्रस्तुत किए गए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:

विकल्प गलत है क्योंकि उत्तर एक ऋणात्मक संख्या है जो प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का भाग नहीं है।

संख्या -3 एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव नहीं है, इसलिए यह एक अपरिमेय नहीं है, इसलिए अक्षर ख यह भी सही समाधान नहीं है।

पत्र सी भी गलत है, क्योंकि संख्या -3 वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित एक संख्या है।

सही विकल्प केवल अक्षर हो सकता है घ और वास्तव में अभिव्यक्ति का परिणाम एक पूर्णांक है और -3 का मॉड्यूल 3 है जो 2 से बड़ा है।

प्रश्न 3

नीचे दी गई तालिका में सेट (ए और बी) में, कौन सा विकल्प समावेशन संबंध का प्रतिनिधित्व करता है?

उत्तर देखो

सही विकल्प: क)

वैकल्पिक "ए" एकमात्र ऐसा है जिसमें एक सेट दूसरे में शामिल है। सेट ए में सेट बी शामिल है या सेट बी को ए में शामिल किया गया है।

तो कौन से कथन सही हैं?

मैं - ए सी बी
द्वितीय - बी सी ए
III - ए बी
चतुर्थ - बी ए

ए) मैं और द्वितीय।
बी) मैं और III।
ग) मैं और चतुर्थ।
डी) द्वितीय और तृतीय।
ई) द्वितीय और चतुर्थ

उत्तर देखो

सही विकल्प: d) II और III।

I - गलत - A, B में नहीं है (ए बी).
II - सही - B, A. में निहित है (बी सी ए).
III - सही - A में B शामिल है (बी ए)।
IV - गलत - B में A नहीं है (बी ए).

प्रश्न 4

हमारे पास समुच्चय A = {1, 2, 4, 8 और 16} और समुच्चय B = {2, 4, 6, 8 और 10} है। विकल्पों के अनुसार, तत्व 2, 4 और 8 कहाँ स्थित हैं?

उत्तर देखो

सही विकल्प: सी)।

अवयव 2, 4 और 8 दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ हैं। इसलिए, वे सबसेट ए बी (बी के साथ एक चौराहे) में स्थित हैं।

प्रश्न 5

दिए गए समुच्चय A, B और C, कौन-सा चित्र A U (B ∩ C) को प्रदर्शित करता है?

उत्तर देखो

सही विकल्प: डी)

एकमात्र विकल्प जो बी ∩ सी (कोष्ठक के कारण) की प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है और बाद में, ए के साथ मिलन करता है।

प्रश्न 6

तीन उत्पादों के संबंध में उपभोक्ताओं की खरीदारी की आदतों के बारे में जानने के लिए एक सर्वेक्षण किया गया। अनुसंधान ने निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

• 40% उत्पाद ए खरीदें।
• 25% उत्पाद बी खरीदें।
• 33% उत्पाद सी खरीदते हैं।
• 20% उत्पाद A और B खरीदते हैं।
• 5% उत्पाद B और C खरीदते हैं।
• 19% उत्पाद A और C खरीदते हैं।
• 2% तीनों उत्पादों को खरीदते हैं।

इन परिणामों के आधार पर उत्तर दीजिए:

a) कितने प्रतिशत उत्तरदाता इनमें से कोई भी उत्पाद नहीं खरीदते हैं?
b) कितने प्रतिशत उत्तरदाता उत्पाद A और B खरीदते हैं और उत्पाद C नहीं खरीदते हैं?
ग) कितने प्रतिशत उत्तरदाताओं ने कम से कम एक उत्पाद खरीदा?

उत्तर देखो

उत्तर:
a) ४४% उत्तरदाता तीन उत्पादों में से किसी का भी उपभोग नहीं करते हैं।
बी) दोनों उत्पादों (ए और बी) का उपभोग करने वाले 18% लोग उत्पाद सी का उपभोग नहीं करते हैं।
c) 56% उत्तरदाता कम से कम एक उत्पाद का उपभोग करते हैं।

इस समस्या को हल करने के लिए, आइए स्थिति की बेहतर कल्पना करने के लिए एक आरेख बनाएं।

हमें हमेशा तीन सेटों के चौराहे पर शुरू करना चाहिए। फिर हम दो सेटों के प्रतिच्छेदन का मान और अंत में उन लोगों का प्रतिशत शामिल करेंगे, जो केवल एक ही ब्रांड का उत्पाद खरीदते हैं।

यह देखा गया है कि दो उत्पादों का उपभोग करने वाले लोगों के प्रतिशत में तीन उत्पादों का उपभोग करने वाले लोगों का प्रतिशत भी शामिल है।

इसलिए, आरेख में हम उपभोग करने वालों का प्रतिशत दर्शाते हैं केवल दो उत्पाद। ऐसा करने के लिए, हमें तीन उत्पादों का उपभोग करने वालों का प्रतिशत उन लोगों से घटाना होगा जो दो का उपभोग करते हैं।

उदाहरण के लिए, उत्पाद ए और उत्पाद बी का उपभोग करने वाला संकेतित प्रतिशत 20% है, हालांकि इस मान में तीन उत्पादों का उपभोग करने वाले से संबंधित 2% शामिल है।

इन मानों को घटाकर, अर्थात 20% - 2% = 18%, हम केवल A और B उत्पाद खरीदने वाले उपभोक्ताओं का प्रतिशत ज्ञात करते हैं।

इन गणनाओं को ध्यान में रखते हुए, वर्णित स्थिति के लिए आरेख नीचे दिए गए चित्र में दिखाया जाएगा:

इस आरेख के आधार पर, अब हम प्रस्तावित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

द) किसी भी उत्पाद को नहीं खरीदने वालों का प्रतिशत पूरे के बराबर होता है, यानी 100% सिवाय इसके कि वे किसी भी उत्पाद का उपभोग करते हैं। तो, हमें निम्नलिखित गणना करनी चाहिए:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

जल्द ही, 44% उत्तरदाताओं ने तीन उत्पादों में से किसी का भी उपभोग नहीं किया.

बी) उत्पाद A और B खरीदने वाले और उत्पाद C नहीं खरीदने वाले उपभोक्ताओं का प्रतिशत घटाकर ज्ञात किया जाता है:

20 - 2 = 18%

इसलिए, दोनों उत्पादों (ए और बी) का उपभोग करने वाले 18% लोग उत्पाद सी का उपभोग नहीं करते हैं.

सी) कम से कम एक उत्पाद का उपभोग करने वाले लोगों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, बस आरेख में सभी मान जोड़ें। तो हमारे पास:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

इस प्रकार, 56% उत्तरदाता कम से कम एक उत्पाद का उपभोग करते हैं.

प्रश्न 7

(एनेम / 2004) एक सौंदर्य प्रसाधन निर्माता अपने उत्पादों के तीन अलग-अलग कैटलॉग तैयार करने का फैसला करता है, जो अलग-अलग दर्शकों को लक्षित करता है। चूंकि कुछ उत्पाद एक से अधिक कैटलॉग में मौजूद होंगे और एक पूरे पृष्ठ पर कब्जा कर लेंगे, वह प्रिंट मूल के साथ खर्चों को कम करने के लिए एक गिनती करने का फैसला करता है। कैटलॉग C1, C2 और C3 में क्रमशः 50, 45 और 40 पृष्ठ होंगे। प्रत्येक कैटलॉग के डिज़ाइनों की तुलना करते हुए, उन्होंने पाया कि C1 और C2 में 10 पृष्ठ समान होंगे; C1 और C3 में 6 पृष्ठ समान होंगे; C2 और C3 में 5 पृष्ठ समान होंगे, जिनमें से 4 भी C1 पर होंगे। संबंधित गणना करते हुए, निर्माता ने निष्कर्ष निकाला कि, तीन कैटलॉग की असेंबली के लिए, इसके बराबर कुल प्रिंट मूल की आवश्यकता होगी:

ए) 135
बी) 126
सी) 118
घ) ११४
ई) 110

उत्तर देखो

सही विकल्प: c) 118

हम इस प्रश्न को आरेख बनाकर हल कर सकते हैं। इसके लिए, आइए उन पेजों से शुरू करें जो तीन कैटलॉग के लिए सामान्य हैं, यानी 4 पेज।

वहां से, हम उन मूल्यों को इंगित करेंगे, जिनका पहले से ही हिसाब लगाया जा चुका है। इस प्रकार, आरेख नीचे दर्शाए अनुसार होगा:

निम्नलिखित गणना करके मान पाए गए:

• चौराहा C1, C2 और C3: 4
• चौराहा C2, C3: 5 - 4 = 1
• चौराहा C1 और C3: 6 - 4 = 2
• चौराहा C1 और C2: 10 - 4 = 6
• केवल C1: 50 - 12 = 38
• केवल सी२: ४५ - ११ = ३४
• केवल सी३: ४० - ७ = ३३

पृष्ठों की संख्या ज्ञात करने के लिए, बस इन सभी मानों को जोड़ें, अर्थात:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

प्रश्न 8

(एनेम/2017) इस थर्मामीटर मॉडल में, फ़िललेट्स पिछले दिन के न्यूनतम और अधिकतम तापमान को रिकॉर्ड करते हैं और ग्रे फ़िललेट्स वर्तमान परिवेश के तापमान को रिकॉर्ड करते हैं, जो कि पढ़ने के समय होता है थर्मामीटर।

तो इसमें दो कॉलम हैं। बाईं ओर, ऊपर से नीचे तक, -30 °C से 50 °C तक, आरोही क्रम में संख्याएँ हैं। दाईं ओर के कॉलम में, संख्याओं को आरोही क्रम में, नीचे से ऊपर तक, -30°C से 50°C तक क्रमित किया गया है।

पढ़ना निम्नानुसार किया जाता है:

• न्यूनतम तापमान को बाएं कॉलम में काली पट्टिका के निचले स्तर द्वारा दर्शाया गया है।
• अधिकतम तापमान दाहिने कॉलम में काली पट्टिका के निचले स्तर द्वारा इंगित किया गया है।
• वर्तमान तापमान दो स्तंभों में ग्रे फ़िललेट्स में शीर्ष स्तर द्वारा इंगित किया गया है।

इस थर्मामीटर पर दर्ज किया गया निकटतम अधिकतम तापमान क्या है?

ए) 5 डिग्री सेल्सियस
बी) 7 डिग्री सेल्सियस
सी) 13 डिग्री सेल्सियस
डी) 15 डिग्री सेल्सियस
ई) 19 डिग्री सेल्सियस

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सही विकल्प: e) 19°C

समस्या को हल करने के लिए, बस काली पट्टिका के दाहिने कॉलम में पैमाने को पढ़ें, जो अधिकतम तापमान रिकॉर्ड का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रश्न 9

(एनेम / 2017) दो उम्मीदवारों के संबंध में मतदाताओं की वरीयता पर एक चुनावी सर्वेक्षण के परिणाम को ग्राफ 1 के माध्यम से दर्शाया गया था।

जब यह परिणाम एक समाचार पत्र में प्रकाशित हुआ था, तो ग्राफ़ 1 को लेआउट के दौरान काट दिया गया था, जैसा कि ग्राफ़ 2 में दिखाया गया है।

यद्यपि प्रस्तुत मान सही हैं और स्तंभों की चौड़ाई समान है, कई पाठक अखबार में छपे ग्राफ 2 के प्रारूप की आलोचना करते हुए दावा किया कि उम्मीदवार को दृश्य क्षति हुई थी बी ग्राफ़ 1 और 2 में स्तंभ B से स्तंभ A की ऊंचाई के अनुपात के बीच का अंतर है:

ए) 0
बी) 1/2
ग) 1/5
घ) 2/15
ई) 8/35

उत्तर देखो

सही विकल्प: ई) 8/35

समस्या को हल करने के लिए, हमें पहले दो ग्राफ़ में कॉलम बी की ऊंचाई और कॉलम ए के अनुपात को खोजने की जरूरत है। प्रत्येक कॉलम में कितने भाग हैं, इसकी गणना करके ये अनुपात ज्ञात किए जाते हैं।

ध्यान दें कि ग्राफ 1 में, कॉलम ए को 7 बराबर "टुकड़ों" में विभाजित किया गया है, जबकि कॉलम बी को 3 में विभाजित किया गया है। ग्राफ 2 में, कॉलम ए को 5 बराबर "टुकड़ों" में विभाजित किया गया है और कॉलम बी केवल 1 में विभाजित है।

इसलिए, भिन्न जो स्तंभ B से स्तंभ A की ऊंचाई के अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं, उन्हें द्वारा दर्शाया जा सकता है

अब इन दो भिन्नों के बीच के घटाव को हल करें, तो हमारे पास है:

प्रश्न 10

(एनेम/2018) लोगो बनाने के लिए, ग्राफिक डिज़ाइन के क्षेत्र में एक पेशेवर इसे त्रिभुज के आकार में समतल बिंदुओं के सेट का उपयोग करके बनाना चाहता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

ग्राफिक टूल का उपयोग करके ऐसी छवि बनाने के लिए, बीजगणितीय रूप से उस सेट को लिखना आवश्यक होगा जो इस ग्राफिक के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है।

यह समुच्चय क्रमित युग्मों द्वारा दिया गया है (x; वाई) ℕ एक्स ℕ, ऐसा है कि
ए) 0 । एक्स वाई ≤ 10
बी) 0 वाई ≤ एक्स ≤ 10
सी) 0 एक्स ≤ 10, 0 वाई ≤ 10
डी) 0 एक्स + वाई ≤ 10
ई) 0 एक्स + वाई ≤ 20

उत्तर देखो

सही विकल्प: b) 0 y ≤ x ≤ 10

ध्यान दें कि प्रश्न में y और x अक्ष दोनों पर व्यक्त की गई आकृति में प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं (ℕ एक्स ℕ) 0 और 10 के बीच। हमें करना ही होगा: 0 वाई ≤ 10 तथा 0 एक्स 10.

इस प्रकार: y = (0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) और x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10) ) हालाँकि, दर्शाया गया चित्र एक त्रिभुज है। इस शर्त को पूरा करने के लिए, क्रमित युग्मों में y, x से बड़ा नहीं हो सकता।

ध्यान दें कि y के मान x के मानों के साथ समानता से सीमित हैं, इस समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाते हैं: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10)।

इस प्रकार, हमें यह करना होगा: वाई एक्स.

जल्द ही, 0 वाई ≤ एक्स ≤ 10.

अधिक जानने के लिए यह भी पढ़ें:

• संख्यात्मक सेट
• वास्तविक संख्याये
• पूर्णांकों
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• अपरिमेय संख्या
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