एमएमसी और एमडीसी, क्रमशः, दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक का प्रतिनिधित्व करते हैं।
नीचे दिए गए टिप्पणी और हल किए गए अभ्यासों के माध्यम से अपने सभी संदेहों को स्पष्ट करने का अवसर न चूकें।
प्रस्तावित अभ्यास
अभ्यास 1
संख्या 12 और 18 के संबंध में, 1 पर विचार किए बिना निर्धारित करें।
ए) 12 के डिवाइडर।
b) 18 के डिवाइडर।
ग) 12 और 18 के सामान्य विभाजक।
d) 12 और 18 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक।
ए) 2, 3, 4, 6 और 12।
बी) 2, 3, 6, 9, 18।
ग) २, ३ और ६
घ) 6
व्यायाम २
36 और 44 के बीच एमएमसी और एमडीसी की गणना करें।
व्यायाम 3
एक संख्या x पर विचार करें, प्राकृतिक। फिर कथनों को सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत करें और औचित्य सिद्ध करें।
a) 24 और x का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 7 हो सकता है।
b) 55 और 15 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 5 हो सकता है।
a) नहीं, क्योंकि 7 24 का भाजक नहीं है।
b) हाँ, क्योंकि 5 55 और 15 के बीच एक सामान्य भाजक है।
व्यायाम 4
TodaMatéria टीम की नई रेस कार के लॉन्च के लिए एक प्रस्तुति में, एक असामान्य दौड़ आयोजित की गई थी। तीन वाहनों ने भाग लिया: लॉन्च कार, पिछले सीज़न की कार और एक नियमित यात्री कार।
सर्किट अंडाकार है, तीनों ने एक साथ शुरुआत की और निरंतर गति बनाए रखी। लॉन्च कार एक लैप पूरा करने में 6 मिनट का समय लेती है। पिछले सीजन की कार एक लैप को पूरा करने में 9 मिनट का समय लेती है और पैसेंजर कार को एक लैप को पूरा करने में 18 मिनट का समय लगता है।
दौड़ शुरू होने के बाद, उन्हें एक साथ फिर से एक ही शुरुआती बिंदु से गुजरने में कितना समय लगेगा?
यह निर्धारित करने के लिए एमएमसी (6, 9, 18) की गणना करना आवश्यक है।
इसलिए वे 18 मिनट बाद फिर से उसी शुरुआती बिंदु से गुजरे।
व्यायाम 5
एक मिष्ठान में 120, 180 और 240 सेंटीमीटर मापने वाली जाली के रोल होते हैं। आपको कपड़े को यथासंभव बड़े टुकड़ों में काटने की आवश्यकता होगी, और कुछ भी नहीं बचा है। प्रत्येक जालीदार पट्टी की अधिकतम लंबाई कितनी होगी?
निर्धारित करने के लिए, हमें mdc (120,180,240) की गणना करनी चाहिए।
ओवरहैंग के बिना सबसे लंबी संभव लंबाई 60 सेमी होगी।
व्यायाम 6
निम्नलिखित संख्याओं से एमएमसी और एमडीसी निर्धारित करें।
ए) 40 और 64
सही उत्तर: एमएमसी = 320 और एमडीसी = 8।
एमएमसी और एमडीसी को खोजने के लिए, सबसे तेज़ तरीका है कि संख्याओं को एक साथ सबसे छोटे संभव अभाज्यों से विभाजित किया जाए। निचे देखो।
ध्यान दें कि एमएमसी की गणना फैक्टरिंग में प्रयुक्त संख्याओं को गुणा करके की जाती है और जीसीडी की गणना उन संख्याओं को गुणा करके की जाती है जो दो संख्याओं को एक साथ विभाजित करती हैं।
बी) 80, 100 और 120
सही उत्तर: एमएमसी = 1200 और एमडीसी = 20।
तीन संख्याओं का एक साथ अपघटन हमें प्रस्तुत मूल्यों का एमएमसी और एमडीसी देगा। निचे देखो।
अभाज्य संख्याओं से भाग देने से हमें गुणनखंडों को गुणा करके mmc का और तीन संख्याओं को एक साथ विभाजित करने वाले गुणनखंडों को गुणा करके mdc का परिणाम मिलता है।
व्यायाम 7
अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हुए, निर्धारित करें: वे दो क्रमागत संख्याएँ कौन सी हैं जिनका mmc 1260 है?
ए) 32 और 33
बी) 33 और 34
सी) 35 और 36
डी) 37 और 38
सही विकल्प: c) 35 और 36.
सबसे पहले, हमें संख्या 1260 का गुणनखंड करना चाहिए और अभाज्य गुणनखंडों का निर्धारण करना चाहिए।
गुणनखंडों को गुणा करने पर, हम पाते हैं कि क्रमागत संख्याएँ 35 और 36 हैं।
इसे सिद्ध करने के लिए, आइए दो संख्याओं के mmc की गणना करें।
व्यायाम 8
छात्र दिवस मनाने के लिए छठी, सातवीं और आठवीं कक्षा के छात्रों के साथ मेहतर शिकार का आयोजन किया जाएगा। प्रत्येक कक्षा में छात्रों की संख्या नीचे देखें।
| कक्षा | 6º | 7º | 8º |
| छात्रों की संख्या | 18 | 24 | 36 |
एमडीसी के माध्यम से निर्धारित करें कि प्रत्येक कक्षा के छात्रों की अधिकतम संख्या एक टीम के हिस्से के रूप में प्रतियोगिता में भाग ले सकती है।
उसके बाद, उत्तर दें: ६वीं, ७वीं और ८वीं कक्षाओं द्वारा प्रति टीम में प्रतिभागियों की अधिकतम संख्या के साथ कितनी टीमें बनाई जा सकती हैं?
ए) 3, 4 और 5
बी) 4, 5 और 6
ग) २, ३ और ४
घ) ३, ४ और ६
सही विकल्प: डी) 3, 4 और 6।
इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें दिए गए मानों को अभाज्य संख्याओं में विभाजित करके प्रारंभ करना चाहिए।
इसलिए, हमने प्रति टीम छात्रों की अधिकतम संख्या पाई और, इस तरह, प्रत्येक कक्षा के पास होगा:
छठा वर्ष: ६/१८ = ३ टीमें
७वां वर्ष: ६/२४ = ४ टीमें
8वां वर्ष: 36/6 = 6 टीमें
प्रवेश परीक्षा हल प्रश्न
प्रश्न 1
(अपरेंटिस नाविक - 2016) मान लीजिए A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) और y = mdc (A, B), तो x + y का मान बराबर है:
क) 460
बी) 480
ग) 500
घ) 520
ई) 540
सही विकल्प: डी) 520।
x और y के योग का मान ज्ञात करने के लिए सबसे पहले इन मानों को ज्ञात करना आवश्यक है।
इस तरह, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करेंगे और फिर दी गई संख्याओं के बीच mmc और mdc की गणना करेंगे।
अब जब हम x (mmc) और y (mdc) का मान जानते हैं, तो हम योग ज्ञात कर सकते हैं:
एक्स + वाई = 480 + 40 = 520
वैकल्पिक: डी) 520
प्रश्न 2
(यूनिकैंप - 2015) नीचे दी गई तालिका दो खाद्य पदार्थों, ए और बी की समान मात्रा के लिए कुछ पोषण मूल्यों को बताती है।
खाद्य पदार्थ ए और बी के दो समस्थानिक भागों (समान ऊर्जा मूल्य के) पर विचार करें। A में प्रोटीन की मात्रा और B में प्रोटीन की मात्रा के बीच का अनुपात बराबर है
ए) 4.
बी) 6.
ग) 8.
घ) 10.
सही विकल्प: ग) 8.
खाद्य पदार्थों ए और बी के समद्विबाहु अंशों को खोजने के लिए, आइए संबंधित ऊर्जा मूल्यों के बीच एमएमसी की गणना करें।
इसलिए, हमें कैलोरी मान प्राप्त करने के लिए प्रत्येक भोजन की आवश्यक मात्रा पर विचार करना चाहिए।
भोजन ए को ध्यान में रखते हुए, 240 किलो कैलोरी का कैलोरी मान रखने के लिए, प्रारंभिक कैलोरी को 4 (60. 4 = 240). भोजन बी के लिए 3 (80. 3 = 240).
इस प्रकार, भोजन A में प्रोटीन की मात्रा को 4 से और भोजन B में 3 से गुणा किया जाएगा:
भोजन ए: 6. 4 = 24 ग्राम
भोजन बी: 1. 3 = 3 जी
इस प्रकार, हमारे पास है कि इन मात्राओं के बीच का अनुपात निम्न द्वारा दिया जाएगा:
वैकल्पिक: सी) 8
प्रश्न 3
(यूईआरजे - २०१५) नीचे दी गई तालिका में, पैकेजों में n नोटबुक्स को व्यवस्थित करने के लिए तीन संभावनाओं का संकेत दिया गया है:
यदि n 1200 से कम है, तो n के सबसे बड़े मान के अंकों का योग है:
ए) 12
बी) 17
सी) 21
घ) 26
सही विकल्प: बी) 17.
तालिका में बताए गए मानों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं:
एन = 12. एक्स + 11
एन = 20। वाई + 19
एन = 18. जेड + 17
ध्यान दें कि यदि हम n के मान में 1 पुस्तक जोड़ते हैं, तो हमारे पास तीन स्थितियों में कोई शेष नहीं रह जाएगा, क्योंकि हम एक और पैकेज बनाएंगे:
एन + 1 = 12. एक्स + 12
एन+1 = 20. एक्स + 20
एन+1 = 18. एक्स + 18
इस प्रकार, n + 1 १२, १८, और २० का एक सामान्य गुणक है, इसलिए यदि हम mmc (जो सबसे छोटा सामान्य गुणक है) पाते हैं, तो हम वहाँ से n+1 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
एमएमसी की गणना:
अतः n+1 का सबसे छोटा मान 180 होगा। हालाँकि, हम 1200 से कम n का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना चाहते हैं। तो आइए एक ऐसे गुणज की तलाश करें जो इन शर्तों को पूरा करता हो।
इसके लिए, 180 को तब तक गुणा करें जब तक हमें वांछित मान न मिल जाए:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (यह मान 1 200 से अधिक है)
तो हम n के मान की गणना कर सकते हैं:
एन + 1 = 1 080
एन = 1080 - 1
एन = 1079
इसके आंकड़ों का योग इसके द्वारा दिया जाएगा:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
वैकल्पिक: बी) 17
यह भी देखें: एमएमसी और एमडीसी
प्रश्न 4
(एनेम - २०१५) एक वास्तुकार एक घर का नवीनीकरण कर रहा है। पर्यावरण में योगदान देने के लिए, यह घर से लिए गए लकड़ी के तख्तों का पुन: उपयोग करने का निर्णय लेता है। इसमें ५४० सेमी, ३० के साथ ८१० सेमी और १० 1080 सेमी के साथ ४० बोर्ड हैं, सभी समान चौड़ाई और मोटाई के हैं। उसने एक बढ़ई को बिना छोड़े बोर्डों को समान लंबाई के टुकड़ों में काटने के लिए कहा बचे हुए, और ताकि नए टुकड़े जितना संभव हो उतना बड़ा हो, लेकिन लंबाई में छोटा कि 2 मी.
वास्तुकार के अनुरोध के जवाब में, बढ़ई को उत्पादन करना होगा
ए) 105 टुकड़े।
बी) 120 टुकड़े।
ग) 210 टुकड़े।
घ) 243 टुकड़े।
ई) 420 टुकड़े।
सही विकल्प: ई) 420 टुकड़े।
चूंकि टुकड़ों को समान लंबाई और जितना संभव हो उतना बड़ा होने के लिए कहा जाता है, आइए mdc (अधिकतम सामान्य भाजक) की गणना करें।
आइए 540, 810 और 1080 के बीच mdc की गणना करें:
हालाँकि, पाया गया मान का उपयोग नहीं किया जा सकता है, क्योंकि लंबाई 2 मीटर से कम होने पर प्रतिबंध है।
तो चलिए 2.7 को 2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि पाया गया मान भी 540, 810 और 1080 का एक सामान्य भाजक होगा, क्योंकि 2 इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य अभाज्य गुणनखंड है।
फिर, प्रत्येक टुकड़े की लंबाई 1.35 मीटर (2.7: 2) के बराबर होगी। अब हमें गणना करने की आवश्यकता है कि हमारे पास प्रत्येक बोर्ड के कितने टुकड़े होंगे। इसके लिए हम करेंगे:
5.40: 1.35 = 4 पीस
8.10: 1.35 = 6 पीस
१०.८०: १.३५ = ८ टुकड़े
प्रत्येक बोर्ड की मात्रा को ध्यान में रखते हुए और जोड़ने पर, हमारे पास है:
40. 4 + 30. 6 + 10. ८ = १६० + १८० + ८० = ४२० टुकड़े
वैकल्पिक: ई) 420 टुकड़े
प्रश्न 5
(एनेम - २०१५) एक सिनेमाघर का प्रबंधक प्रतिवर्ष स्कूलों को मुफ्त टिकट प्रदान करता है। इस साल दोपहर के सत्र के लिए 400 टिकट और उसी फिल्म के शाम के सत्र के लिए 320 टिकट वितरित किए जाएंगे। टिकट प्राप्त करने के लिए कई स्कूलों को चुना जा सकता है। टिकटों के वितरण के लिए कुछ मानदंड हैं:
- प्रत्येक स्कूल को एक सत्र के लिए टिकट प्राप्त करना होगा;
- सभी पात्र स्कूलों को समान संख्या में टिकट प्राप्त करने होंगे;
- कोई बचा हुआ टिकट नहीं होगा (यानी सभी टिकट वितरित किए जाएंगे)।
स्थापित मानदंडों के अनुसार टिकट प्राप्त करने के लिए चुने जा सकने वाले स्कूलों की न्यूनतम संख्या है
ए) 2.
बी 4।
ग) 9.
घ) 40.
ई) 80.
सही विकल्प: ग) 9.
स्कूलों की न्यूनतम संख्या का पता लगाने के लिए, हमें प्रत्येक स्कूल को प्राप्त होने वाले टिकटों की अधिकतम संख्या जानने की जरूरत है, यह देखते हुए कि यह संख्या दोनों सत्रों में बराबर होनी चाहिए।
इस तरह, हम 400 और 320 के बीच mdc की गणना करेंगे:
पाया गया mdc मान प्रत्येक स्कूल को मिलने वाले टिकटों की सबसे बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, ताकि कोई बचा न रहे।
चुने जा सकने वाले स्कूलों की न्यूनतम संख्या की गणना करने के लिए, हमें प्रत्येक सत्र के लिए टिकटों की संख्या को प्रत्येक स्कूल को प्राप्त होने वाले टिकटों की संख्या से विभाजित करना होगा, इसलिए हमारे पास:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
इसलिए, स्कूलों की न्यूनतम संख्या 9 (5 + 4) के बराबर होगी।
वैकल्पिक: सी) 9.
प्रश्न 6
(सीफेट/आरजे - 2012) अंकीय व्यंजक का मान क्या होता है ?
ए) 0.2222
बी) 0.2323
सी) 0.2332
घ) 0.3222
सही विकल्प: क) 0.2222
सांख्यिक व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, पहला कदम हर के बीच एमएमसी की गणना करना है। इस प्रकार:
पाया गया mmc भिन्नों का नया हर होगा।
हालाँकि, भिन्न मान को नहीं बदलने के लिए, हमें प्रत्येक अंश के मान को प्रत्येक हर द्वारा mmc को विभाजित करने के परिणाम से गुणा करना चाहिए:
जोड़ और भाग को हल करते हुए, हमारे पास है:
वैकल्पिक: क) 0.2222
प्रश्न 7
(ईपीसीएआर - 2010) एक किसान सीधे क्यारी में फलियाँ लगाएगा। इसके लिए उन्होंने उन जगहों को चिह्नित करना शुरू कर दिया जहां वे बीज बोएंगे। नीचे दिया गया आंकड़ा किसान द्वारा पहले से चिह्नित बिंदुओं और उनके बीच की दूरी को सेमी में दर्शाता है।
इस किसान ने फिर मौजूदा के बीच अन्य बिंदुओं को चिह्नित किया, ताकि दूरी घ उन सभी के बीच एक ही था और सबसे बड़ा संभव था। अगर एक्स दूरी की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है घ किसान द्वारा प्राप्त किया गया था, इसलिए एक्स से विभाज्य एक संख्या है
ए) 4
बी) 5
ग) 6
घ) 7
सही विकल्प: डी) 7.
प्रश्न को हल करने के लिए, हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है जो एक ही समय में प्रस्तुत संख्याओं को विभाजित करती है। जैसे ही दूरी को यथासंभव दूर करने के लिए कहा जाता है, हम उनके बीच mdc की गणना करेंगे।
इस प्रकार, प्रत्येक बिंदु के बीच की दूरी 5 सेमी के बराबर होगी।
यह दूरी कितनी बार दोहराई गई यह जानने के लिए, आइए प्रत्येक मूल खंड को 5 से विभाजित करें और पाए गए मानों को जोड़ें:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
एक्स = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य है, क्योंकि 21.7 = 147
वैकल्पिक: डी) 7
यह भी देखें: गुणक और विभाजक
