वास्तविक संख्याएँ: वे क्या हैं, गुण, वास्तविक रेखा

हम सभी परिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के रूप में जानते हैं और तर्कहीन. का अध्ययन करके संख्यात्मक सेट, यह समझना महत्वपूर्ण है कि वे मानवता की जरूरतों और इतिहास का पालन करते हैं, संख्यात्मक सेट हैं:

• प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
• पूर्ण संख्या सेट
• परिमेय संख्याओं का समुच्चय
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
• वास्तविक संख्याओं का समुच्चय 

आप वास्तविक संख्याओं में गुण होते हैं जैसे: साहचर्य, कम्यूटेटिव, जोड़ और गुणा के लिए तटस्थ तत्व का अस्तित्व, गुणन में व्युत्क्रम तत्व का अस्तित्व और वितरण। वास्तविक संख्या वास्तविक रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है - व्यवस्थित ढंग से उनका प्रतिनिधित्व कैसे करें।

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वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

हम numbers द्वारा गठित समुच्चय को वास्तविक संख्या के रूप में जानते हैं परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का मिलन. उनके साथ काम करना काफी आम है, लेकिन वास्तविक संख्याओं का सेट इतिहास में पहली बार सामने नहीं आया था।

प्राकृतिक संख्या

हे पहला संख्यात्मक सेट यह प्राकृतिक संख्याओं द्वारा गठित किया गया था। वे अपने दैनिक जीवन की वस्तुओं को गिनने और गिनने के लिए मनुष्यों की मूलभूत आवश्यकता से बनाए गए थे। आप

प्राकृतिक संख्या वो हैं:

एन = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}

पूर्णांकों

समाज के विकास के साथ-साथ इंसान की चाहत भी बदल रही थी और नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने की जरूरत है. 4 - 6 जैसी संक्रियाएँ, जिनका प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में कोई अर्थ नहीं था, इस नए समुच्चय के आविर्भाव के साथ ऐसा करना शुरू किया। का समूह पूर्ण संख्या प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्याओं के योग के साथ आया, अर्थात् यह प्राकृतिक संख्याओं और उनके विपरीत से बनता है.

जेड = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

परिमेय संख्या

यह पता चला है कि, फिर भी, ऋणात्मक संख्याओं के योग के साथ, पूर्ण संख्याओं का समुच्चय पर्याप्त नहीं था, क्योंकि प्राचीन मिस्र, उन संख्याओं का उपयोग करना काफी सामान्य है जो पूर्णांक नहीं हैं। यह तब था जब एक नए सेट को औपचारिक रूप देने की आवश्यकता महसूस हुई: सभी द्वारा गठित सेट संख्याएँ जिन्हें भिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है परिमेय संख्या के रूप में जाना जाता है।

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के विपरीत, परिमेय में उनके पूर्ववर्तियों और उत्तराधिकारियों के साथ शब्दों की सूची लिखना संभव नहीं है, क्योंकि, परिमेय संख्याओं को देखते हुए, हमेशा एक और होगा परिमेय संख्या उनके बीच। उदाहरण के लिए, 1 और 2 के बीच 1.5 है; १ और १.५ के बीच १.२५ है; और इसी तरह। इसलिए, परिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करते हैं:

इस संकेतन में परिमेय संख्या वह है जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है के अंतर्गत ख, किस पर एक पूर्णांक है और ख एक शून्येतर पूर्णांक है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में, सभी पूर्णांक शामिल थे जो पहले से ही ज्ञात थे, क्योंकि उन सभी को सटीक दशमलव संख्याओं के अतिरिक्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है और आवधिक दशमांश, सकारात्मक और नकारात्मक।

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अपरिमेय संख्या

परिमेय संख्याओं की परिभाषा के विपरीत, ऐसी संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। कुछ गणितज्ञों ने इस निरूपण को करने के प्रयास में समय पर उनका अध्ययन किया है, लेकिन यह संभव नहीं है। ये नंबर हैं गैर-आवधिक दशमांश और जड़ों सटीक नहीं, जो परिणामस्वरूप गैर-आवधिक दशमांश उत्पन्न करते हैं। संख्या π, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय संख्या है जो रोजमर्रा की जिंदगी में काफी सामान्य है। अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सूचीबद्ध नहीं है, जैसा कि परिमेय संख्याएँ हैं, और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है मैं.

उदाहरण:

• √2 → गैर-सटीक मूल अपरिमेय संख्याएं हैं;
• -√5 → जड़ें सटीक नहीं हैं, भले ही ऋणात्मक संख्याएं अपरिमेय हों;
•  3.123094921… → गैर-आवधिक दशमलव अपरिमेय संख्याएँ हैं।

वास्तविक संख्याये

चूँकि सभी प्राकृत और पूर्णांक संख्याओं को परिमेय माना जाता है, अब तक संख्याएँ हो सकती हैं दो बड़े समुच्चयों में वर्गीकृत, परिमेय संख्याओं का समुच्चय और संख्याओं का समुच्चय तर्कहीन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय से अधिक कुछ नहीं है परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का मिलन.

आर = {क्यू यू आई}

अब तक हम जितनी भी संख्याएँ जानते हैं, वे सभी वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

वास्तविक संख्याओं के साथ संचालन

वास्तविक संख्याओं को शामिल करने वाली संक्रियाएँ वे संक्रियाएँ हैं जिन्हें संख्याओं के पिछले सभी सेटों के लिए जाना जाता है। क्या वो:

• इसके अलावा
• घटाव
• विभाजन
• गुणा
• क्षमता
• विकिरण

वास्तविक संख्याओं के बीच इनमें से कोई भी संक्रिया करने के लिए, पिछली संख्याओं वाले संक्रियाओं से कोई अंतर नहीं है।

साथ ही, इस तरह के संचालन पर विचार करते हुए, यह उजागर करना महत्वपूर्ण है कि गुण हैं वास्तविक संख्याओं के सेट में।

वास्तविक संख्याओं के गुण

यह समझना महत्वपूर्ण है कि वास्तविक संख्याओं के गुण होते हैं इसकी परिभाषा के परिणाम और संचालन करने के लिए उपयोगी हैं। क्या वो:

• जोड़ और गुणा के लिए एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व
• क्रमचयी गुणधर्म
• संबंधी संपत्ति
• वितरण की जाने वाली संपत्ति
• व्युत्क्रम का अस्तित्व

• तटस्थ तत्व

होना एक वास्तविक संख्या।

एक संख्या है, जिसे जोड़ा गया , अपने आप में परिणाम :

+ 0 =

0 योग का उदासीन तत्व है।.

एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर , अपने आप में परिणाम द.

· 1 =

1 गुणन का उदासीन तत्व है.

• क्रमचयी गुणधर्म

होना तथा ख दो वास्तविक संख्याएँ।

जोड़ या गुणा में, संख्याओं का क्रम परिणाम को नहीं बदलेगा।

+ ख = ख +

ए · बी = बी · ए

• संबंधी संपत्ति

होना , ख तथा सी वास्तविक संख्याये।

जोड़ और गुणा दोनों में, दो संचालित संख्याएं किसी भी क्रम के प्रति उदासीन हैं।

( + ख) + सी = + (ख + सी)

(ए · बी) · सी = · (बी · सी)

• वितरण की जाने वाली संपत्ति

होना , ख तथा सी वास्तविक संख्याये।

वितरण संपत्ति से पता चलता है कि योग का उत्पाद उत्पादों के योग के बराबर होता है।

सी (ए + बी) = सीए+सीबी

• व्युत्क्रम का अस्तित्व

होना एक शून्येतर वास्तविक संख्या।

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए शून्य से भिन्न, एक संख्या ऐसी होती है जिससे गुणनफल प्रवेश करता है और यह संख्या 1 के बराबर है।

सीधे पर प्रतिनिधित्व

हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को एक पंक्ति में निरूपित कर सकते हैं, क्योंकि वहाँ a. है उसके लिए व्यवस्था का सुपरिभाषित सिद्धांत. रेखा पर यह निरूपण वास्तविक रेखा के रूप में जाना जाता है या पुनयह संख्यात्मक है और यह कार्तीय तल के अध्ययन में भी काफी सामान्य है।

साथ ही पहुंचें: अंश क्या है?

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - कृपया निम्नलिखित कथनों का न्याय करें:

I - आवर्त दशमलव वास्तविक संख्याएँ हैं।
II - प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय या अपरिमेय होती है।
III - प्रत्येक पूर्ण संख्या प्राकृत नहीं होती है।

कथनों का विश्लेषण करके हम कह सकते हैं कि:

ए) केवल I झूठा है।
बी) केवल II झूठा है।
सी) केवल III झूठा है।
डी) सभी सच हैं।
ई) सभी झूठे हैं।

संकल्प

वैकल्पिक डी.

I - सच है, चूंकि दशमांश अपरिमेय संख्याएं हैं, फलस्वरूप, वे वास्तविक संख्याएं हैं।
II - सत्य, क्योंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और अपरिमेय संख्याओं का मिलन होता है।
III - सच है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ, जैसे -2 और -5, पूर्णांक हैं, लेकिन प्राकृत नहीं हैं।

प्रश्न 2 - निम्नलिखित गुणों की जाँच करें:

मैं - कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी
द्वितीय - वितरण संपत्ति
III - सहयोगी संपत्ति

निम्नलिखित संक्रियाओं का विश्लेषण करें और उन्हें उनके संबंधित गुणों की संख्या से चिह्नित करें:

1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1) 
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1

कौन सा विकल्प गुणों के सही क्रम से मेल खाता है:

ए) II - I - III - I
बी) मैं - III - III - II
सी) III - II - III - III 
डी) II - I - III - II
ई) II - III - II - I

संकल्प

वैकल्पिक ए.

1 - (II) इस मामले में, वितरण संपत्ति हुई, क्योंकि ध्यान दें कि ऑपरेशन के प्रत्येक कारक द्वारा 3 को गुणा किया गया था।
2 - (I) इस स्थिति में, गुणनखंडों का क्रम गुणन, गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता को नहीं बदलता है।
3 - (III) हमारे पास साहचर्य गुण है, क्योंकि इन तत्वों को जोड़ने के क्रम में योग नहीं बदलता है।
4 - (I) यहां फिर से हमारे पास कम्यूटेटिविटी है, क्योंकि पार्सल के क्रम में योग नहीं बदलता है।