शक्तियों के गुणों पर व्यायाम


क्षमता एक गणितीय संक्रिया है जिसका उपयोग किसी संख्या के गुणनफल को स्वयं व्यक्त करने के लिए किया जाता है। इस ऑपरेशन में कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं, जो कई गणनाओं को सरल और हल करना संभव बनाता है।

मुख्य गुणन गुण वो हैं:

→ शून्य के बराबर घातांक के साथ विभव:

\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}

→ 1 के बराबर घातांक के साथ विभव:

\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}

→ ऋणात्मक संख्याओं का विभव के साथ \dpi{120} \mathrm{a>0} तथा \dpi{120} \mathrm{m} बराबर संख्या:

\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}

→ ऋणात्मक संख्याओं का विभव के साथ \dpi{120} \mathrm{a>0} तथा \dpi{120} \mathrm{m} विषम संख्या:

\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }

→ एक शक्ति की शक्ति:

\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}

→ ऋणात्मक घातांक वाली शक्ति:

\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}

→ शक्ति गुणन:

\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}

→ पावर डिवीजन:

\dpi{120} \mathbf{a^m: a^n = a^{m-n}}

अधिक जानने के लिए, देखें a शक्ति गुणों पर अभ्यासों की सूची. सभी मुद्दों का समाधान किया गया ताकि आप अपनी शंकाओं को दूर कर सकें।

सूची

  • शक्तियों के गुणों पर व्यायाम
  • प्रश्न 1 का समाधान
  • प्रश्न 2 का समाधान
  • प्रश्न 3 का समाधान
  • प्रश्न 4. का समाधान
  • प्रश्न 5 का समाधान Resolution
  • प्रश्न 6. का समाधान
  • प्रश्न 7 का समाधान
  • प्रश्न 8 का समाधान

शक्तियों के गुणों पर व्यायाम


प्रश्न 1। निम्नलिखित शक्तियों की गणना करें: \dpi{120} (-3)^2, \dpi{120} (-1)^9, \dpi{120} (-5)^3 तथा \dpi{120} (-2)^6.


प्रश्न 2। निम्नलिखित शक्तियों की गणना करें: \dpi{120} 4^2, \dpi{120} -4^2 तथा \dpi{120} (-4)^2.


प्रश्न 3। नकारात्मक घातांक शक्तियों की गणना करें: \dpi{120} 5^{-1}, \dpi{120} 8^{-2}, \dpi{120} (-3)^{-3} तथा \dpi{120} (-1)^{-8}.


प्रश्न 4. निम्नलिखित शक्तियों की गणना करें: \dpi{120} (4^2)^3, \dpi{120} (-2^3)^{-1}, \dpi{120} (3^2)^{-2} तथा \dpi{120} (5^{-1})^{-2}.


प्रश्न 5. शक्तियों के बीच गुणा करें:

\dpi{120} 3^2\cdot 3^3
\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}
\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1

प्रश्न 6. शक्तियों के बीच विभाजन करें: \dpi{120} \frac{3^6}{3^4}, \dpi{120} \frac{2^5}{2^0} तथा \dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}.


प्रश्न 7. निम्नलिखित शक्तियों की गणना करें: \dpi{120} \बाएं ( \frac{2}{3} \right )^2, \dpi{120} \बाएं ( -\frac{2}{5} \right )^3, \dpi{120} \बाएं ( \frac{5}{2} \right )^4.


प्रश्न 8. गणना करें:

\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3 ^{-2}}

प्रश्न 1 का समाधान

जैसे की \dpi{120} (-3)^2 घातांक सम है, घात धनात्मक होगी:

\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9

जैसे की \dpi{120} (-1)^9 घातांक विषम है, घात ऋणात्मक होगा:

\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1

जैसे की \dpi{120} (-5)^3 घातांक विषम है, घात ऋणात्मक होगा:

\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125
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जैसे की \dpi{120} (-2)^6 घातांक सम है, घात धनात्मक होगी:

\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64

प्रश्न 2 का समाधान

तीनों मामलों में, संकेत को छोड़कर, शक्ति समान होगी, जो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है:

\dpi{120} 4^2 = 16
\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16
\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16

प्रश्न 3 का समाधान

शक्ति \dpi{120} 5^{-1} शक्ति का विलोम है \dpi{120} 5^{1}:

\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}

शक्ति \dpi{120} 8^{-2} शक्ति का विलोम है \dpi{120} 8^{2}:

\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}

शक्ति \dpi{120} (-3)^{-3} शक्ति का विलोम है \dpi{120} (-3)^{3}:

\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{ 27}

शक्ति \dpi{120} (-1)^{-8} शक्ति का विलोम है \dpi{120} (-1)^{8}:

\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1

प्रश्न 4. का समाधान

प्रत्येक मामले में, हम घातांक को गुणा कर सकते हैं और फिर घात की गणना कर सकते हैं:

\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096
\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2) ^3} = -\frac{1}{8}
\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{ 81}
\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25

प्रश्न 5 का समाधान Resolution

प्रत्येक मामले में, हम एक ही आधार की शक्तियों के घातांक जोड़ते हैं:

\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243
\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8
\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5- 3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375

प्रश्न 6. का समाधान

प्रत्येक मामले में, हम एक ही आधार की शक्तियों के घातांक घटाते हैं:

\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9
\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32
\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2 }= \frac{1}{25}

प्रश्न 7 का समाधान

प्रत्येक मामले में, हम दोनों शब्दों को घातांक तक बढ़ाते हैं:

\dpi{120} \बाएं ( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}
\dpi{120} \बाएं ( -\frac{2}{5} \right )^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}
\dpi{120} \बाएं ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}

प्रश्न 8 का समाधान

\dpi{120} \छोटा \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\ सीडीओटी 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}

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