त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करना

पर त्रिकोणमितीय संबंध वे सूत्र हैं जो एक समकोण त्रिभुज के कोणों और भुजाओं को जोड़ते हैं। इन सूत्रों में कार्य शामिल हैं ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखाऔर इस प्रकार के त्रिभुज से संबंधित ज्यामितीय समस्याओं में कई अनुप्रयोग हैं।

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय संबंध

हे सही त्रिकोण यह वह त्रिभुज है जिसमें एक समकोण (90°) और दो न्यून कोण (90° से कम) होते हैं। समकोण त्रिभुज की भुजाओं को कर्ण और भुजाएँ कहा जाता है, और संदर्भ कोण के आधार पर भुजाएँ विपरीत या आसन्न हो सकती हैं।

आयत त्रिभुज

समकोण त्रिभुज के तत्व:

कर्ण: समकोण के विपरीत पक्ष;
विपरीत पक्ष: माना तीव्र कोण के विपरीत पक्ष;
आसन्न पक्ष: माना जाता है कि तीव्र कोण के लिए लगातार पक्ष।

सूत्र:

कोण को देखते हुए $\dpi{120} \alpha$ समकोण त्रिभुज में, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{catheto\, विपरीत}{कर्ण}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{catheto\, आसन्न}{कर्ण}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{side\, विपरीत}{साइड \, आसन्न}}$

नोट: समकोण त्रिभुज का कर्ण हमेशा समान होता है, विपरीत और आसन्न भुजाएँ विचाराधीन न्यून कोण के संबंध में भिन्न होती हैं।

उदाहरण - त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करना

त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करने के उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

उदाहरण 1: नीचे दिए गए त्रिभुज में x और y के मान की गणना करें:

त्रिकोण

30° कोण की ज्या से हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं, जो त्रिभुज का कर्ण है।

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$\dpi{120} \mathrm{sen\, 30^{\circ} =\frac{5}{x}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ x=\frac{5}{sen\, 30^{\circ}}}$

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$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = 10}$

अब, y का मान ज्ञात करने का एक तरीका 30° कोण की कोज्या से है। इस स्थिति में, y 30° के कोण से सटा पैर है।

$\dpi{120} \mathrm{cos\, 30^{\circ} =\frac{y}{10}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y = 10\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y \लगभग 9}$

उदाहरण 2: कोणों की माप ज्ञात कीजिए $\dpi{120} \alpha$ तथा $\dpi{120} \beta$ नीचे दिए गए त्रिभुज से:

त्रिकोण

सबसे पहले, आइए कोण निर्धारित करें $\dpi{120} \alpha$ :

$\dpi{120} \mathrm{sen\, \alpha = \frac{5}{6,4}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha = sen^{-1} \left ( \frac{5}{6,4}\right )}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha \लगभग 51.37^{\circ}}$

अब कोण ज्ञात करते हैं $\dpi{120} \beta$ :

$\dpi{120} \mathrm{sen\, \beta = \frac{4}{6,4}}$

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \beta = sen^{-1} \बाएं ( \frac{4}{6,4}\right )}$

$\dpi{120} \Rightarrow \beta \लगभग 38.68$

ध्यान दें कि हमने दोनों मामलों में साइन का इस्तेमाल किया है, लेकिन हम कोसाइन का भी इस्तेमाल कर सकते हैं और इन्हीं परिणामों पर पहुंच सकते हैं।

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