डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय

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हे डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय बता देता है अगर a बहुपदP(x) उनके बीच विभाजन करने से पहले ही, ax + b प्रकार के द्विपद से विभाज्य है।

दूसरे शब्दों में, प्रमेय हमें यह जानने की अनुमति देता है कि विभाजन का शेष R शून्य के बराबर है या नहीं। यह प्रमेय का तत्काल परिणाम है बाकी प्रमेय बहुपदों के विभाजन के लिए। नीचे क्यों समझें।

बाकी प्रमेय

जब एक बहुपद P(x) को ax + b प्रकार के द्विपद से विभाजित किया जाता है, तो शेष R, P(x) के मान के बराबर होता है, जब x द्विपद ax + b का मूल होता है।

द्विपद का मूल: ax + b = 0 x = -b/a। तो, बाकी प्रमेय के अनुसार, हमें यह करना होगा:

आर = पी (-बी / ए)

अब, देखें कि यदि P(-b/a) = 0, तो R = 0 और यदि R = 0, तो बहुपदों के बीच विभाज्यता है। और ठीक यही डी'अलेम्बर्ट का प्रमेय हमें बताता है.

डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय: यदि P(-b/a) = 0, तो बहुपद P(x) द्विपद ax + b से विभाज्य है।

उदाहरण 1

जाँच कीजिए कि बहुपद P(x) = 6x² + 2x, 3x + 1 से विभाज्य है।

१) हम ३x + १ का मूल निर्धारित करते हैं:

-बी/ए = -1/3

2) हम बहुपद P(x) = 6x² + 2x में x को -1/3 से प्रतिस्थापित करते हैं:

पी(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
पी(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
पी(-1/3) = 6/9 - 2/3
पी(-1/3) = 2/3 - 2/3
पी(-1/3) = 0

चूँकि P(-1/3) = 0, बहुपद P(x) = 6x² + 2x, 3x + 1 से विभाज्य है।

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उदाहरण 2

जाँच कीजिए कि बहुपद P(x) = 12x³ + 4x² - 8x, 4x से विभाज्य है।

१) हम ४x का मूल निर्धारित करते हैं:

-बी/ए = -0/4 = 0

2nd) हम बहुपद P(x) = 12x³ + 4x² - 8x में x को 0 से प्रतिस्थापित करते हैं:

पी(0) = 12.0³ + 4.0² - 8.0
पी(0) = 0 + 0 - 0
पी (0) = 0

चूँकि P(0) = 0, बहुपद P(x) = 12x³ + 4x² - 8x 4x से विभाज्य है।

उदाहरण 3

जाँच कीजिए कि बहुपद P(x) = x² - 2x + 1 x - 2 से विभाज्य है।

१) हम x – २ का मूल ज्ञात करते हैं:

-बी/ए = -(-2)/1 = 2

2nd) हम बहुपद P(x) = x² - 2x + 1 में x को 2 से प्रतिस्थापित करते हैं:

पी(2) = 2² - 2.2 + 1
पी(2) = 4 - 4 +1
पी(2) = 1

चूँकि P(2) 0, बहुपद P(x) = x² - 2x + 1 x - 2 से विभाज्य नहीं है।

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