रैखिक प्रणालियों को हल करना

आप रैखिक प्रणाली द्वारा गठित सिस्टम हैं रेखीय समीकरण जो आपस में संबंधित हैं। इसलिए, इस प्रकार की प्रणाली का समाधान अज्ञात मूल्यों का एक समूह है जो सिस्टम में सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।

हालांकि, प्रत्येक रैखिक प्रणाली का एक ही समाधान नहीं होता है, अनंत समाधान वाले सिस्टम और सिस्टम होते हैं जो किसी भी समाधान को स्वीकार नहीं करते हैं। के बारे में बेहतर समझें रैखिक प्रणालियों का संकल्प!

रैखिक प्रणालियों को हल करना

n अज्ञात वाले सिस्टम में, $\dpi{120} (x_1, x_2, x_3,..., x_n)$ , समाधान, जब यह मौजूद है, का है $\dpi{120} (a_1, a_2, a_3,..., a_n)$ , जो संख्यात्मक मान हैं जो सिस्टम में सभी समीकरणों को सत्य बनाते हैं, जा रहा है $\dpi{120} x_1 = a_1, x_2 = a_2,x_3 = a_3,..., x_n = a_n$ .

कई स्थितियों में, एक से अधिक सेट $\dpi{120} (a_1, a_2, a_3,..., a_n)$ यह एक सिस्टम समाधान है और, दूसरों में, ऐसा कोई सेट नहीं है जो समाधान हो। इस अर्थ में, रैखिक प्रणालियों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

संभव प्रणाली निर्धारित (एसपीडी): एक ही समाधान स्वीकार करता है;
अनिर्धारित संभावित प्रणाली (एसपीआई): अनंत समाधान स्वीकार करता है;
असंभव प्रणाली (एसआई): कोई समाधान स्वीकार नहीं करता है।

यदि समीकरणों की प्रणाली में समान संख्या में समीकरण और अज्ञात हैं, तो हम संबंधित गुणांक मैट्रिक्स को इकट्ठा कर सकते हैं, जो एक होगा

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वर्ग मैट्रिक्स, और गणना करें सिद्ध उस मैट्रिक्स का।

यदि सारणिक गैर-शून्य है तो सिस्टम एसपीडी है, लेकिन यदि सारणिक शून्य है तो सिस्टम एसपीआई या एसआई हो सकता है।

उदाहरण 1: रैखिक प्रणाली $\dpi{120} \बाएं\{\शुरू {मैट्रिक्स} 2x + 3y = 7\\ 3x - y = 5 \end{मैट्रिक्स}\दाएं।$ एक ही समाधान स्वीकार करता है।

$\dpi{120} D = \शुरू {vmatrix} 2 और 3\\ 3& -1 \end{vmatrix} = -2 -9 = -11\neq 0$

हल करने के लिए किसी विधि का उपयोग करना दो समीकरणों की प्रणाली, जोड़ने या बदलने की एक विधि के रूप में, हम समाधान पा सकते हैं $\dpi{120} (x, y) = (2.1)$ .

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ध्यान दें कि ये मान दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं जब उन्हें उनमें प्रतिस्थापित किया जाता है:

$\dpi{120} 2x + 3y = 2. 2 + 3.1 =4 + 3 = 7$

$\dpi{120} 3x - y = 3. 2 - 1 = 6 - 1 = 5$

हम गारंटी दे सकते हैं कि कोई अन्य आदेशित जोड़े नहीं हैं। $\dpi{120} (x, y)$ इस पाया जोड़ी के अतिरिक्त ऐसा करने के लिए, क्योंकि समाधान अद्वितीय है।

उदाहरण 2: रैखिक प्रणाली $\dpi{120} \बाएं\{\शुरू {मैट्रिक्स} x + 3y = -2\\ 2x + 6y = -4 \end{मैट्रिक्स}\दाएं।$ एक भी समाधान स्वीकार नहीं करता।

$\dpi{120} D = \शुरू{vmatrix} 1 और 3\\ 2& 6 \end{vmatrix} = 6 -6 = 0$

यदि हम दो समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए किसी भी तरीके का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो हमें कहीं नहीं मिलेगा, हमें दो अज्ञात के संबंध में विपरीत शब्द मिलेंगे जो रद्द हो जाएंगे। इसलिए, यह प्रणाली SPI या SI है।

यह बताने का एक तरीका है कि यह प्रणाली SPI है या SI, के ग्राफिकल विश्लेषण के माध्यम से है सीधे प्रणाली के समीकरणों के संदर्भ में। यदि दो रेखाएँ मेल खाती हैं, तो यह SPI है। लेकिन अगर स्ट्रेट्स हैं समानांतर, का अर्थ है कि उनके बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अर्थात प्रणाली SI है।

इस मामले में, यह सत्यापित किया जा सकता है कि रेखाएँ $\dpi{120} x + 3y = -2$ तथा $\dpi{120} 2x + 6y = -4$ संयोग हैं और सिस्टम तब SPI है, इसके अनंत समाधान हैं।

कुछ क्रमबद्ध जोड़े जो हल हैं: (-5, 1) और (4, 2)।

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