जटिल संख्या अभ्यास: हल किए गए प्रश्नों और प्रतिक्रिया की सूची

आप जटिल आंकड़े गणितीय समस्याओं को हल करना संभव बनाते हैं जिनका समाधान सेट में नहीं है वास्तविक संख्याये.

एक सम्मिश्र संख्या के रूप में लिखा गया है $\dpi{120} z = a+ bi$ , हम कहते हैं कि $\dpi{120} से$ असली हिस्सा है, $\डीपीआई{120} बी$ काल्पनिक हिस्सा है और $\dpi{120} i =\sqrt{-1}$ यह काल्पनिक इकाई है।

निष्पादित करना जटिल संख्याओं के साथ संचालन with, कुछ व्यंजक हैं जो गणना को आसान बनाते हैं। विचार करें $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ तथा $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

सम्मिश्र संख्याओं के बीच जोड़ व्यंजक:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) i$

सम्मिश्र संख्याओं के बीच घटाव का व्यंजक:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (ए-सी)+(बी - डी) मैं$

सम्मिश्र संख्याओं के बीच गुणन का व्यंजक:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (एसी - डीबी)+(विज्ञापन +सीबी) मैं$

सम्मिश्र संख्याओं के बीच विभाजन का व्यंजक:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }मैं$

नीचे की एक सूची है जटिल संख्याओं पर अभ्यास के साथ हल किए गए प्रश्न. इन संख्याओं को शामिल करने वाली प्रत्येक अवधारणा का उपयोग करना सीखें!

सूची

सम्मिश्र संख्याओं पर अभ्यासों की सूची
प्रश्न 1 का समाधान
प्रश्न 2 का समाधान
प्रश्न 3 का समाधान
प्रश्न 4. का समाधान
प्रश्न 5. का समाधान
प्रश्न 6. का समाधान
प्रश्न 7 का समाधान
प्रश्न 8 का समाधान

सम्मिश्र संख्याओं पर अभ्यासों की सूची

प्रश्न 1। जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ तथा $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ का मान ज्ञात कीजिए $\dpi{120} ए$ , कब $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

प्रश्न 2। के मूल्यों का पता लगाएं $\डीपीआई{120} x$ तथा $\dpi{120} y$ ऐसा है कि $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

प्रश्न 3। जटिल संख्याओं को ध्यान में रखते हुए $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ तथा $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , का मान निर्धारित करें $\dpi{120} A\cdot B$ , कब $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ तथा $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

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प्रश्न 4. value के मान की गणना करें $\डीपीआई{120} पी$ तथा $\डीपीआई{120} क्यू$ किस बात का $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , कब $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ तथा $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

प्रश्न 5. का मान ज्ञात कीजिए $\dpi{120} से$ किस बात का $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या हो।

प्रश्न 6. निम्नलिखित काल्पनिक इकाई शक्तियों की गणना करें $\डीपीआई{120} आई$ :

द) $\dpi{120} मैं^{16}$
बी) $\dpi{120} मैं^{200}$
सी) $\dpi{120} मैं^{829}$
घ) $\dpi{120} मैं^{11475}$

प्रश्न 7. समीकरण का हल खोजें $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ जटिल संख्याओं के सेट में।

प्रश्न 8. समीकरण का हल ज्ञात कीजिए $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ जटिल संख्याओं के सेट में।

प्रश्न 1 का समाधान

हमारे पास है $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ तथा $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ तथा $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ और हम value का मान निर्धारित करना चाहते हैं $\dpi{120} ए$ , कब $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

सबसे पहले, आइए गणना करें $\dpi{120} 4z_3$ तथा $\dpi{120} 3z_1$ , अलग से:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

अब गणना करते हैं $\dpi{120} ए$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \दायां तीर A= -8 + 2i$

प्रश्न 2 का समाधान

हम x और y को ज्ञात करना चाहते हैं ताकि $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

दो सम्मिश्र संख्याओं के योग के व्यंजक द्वारा, हमें यह करना होता है:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Rightarrow (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

तो हमारे पास होना चाहिए $\dpi{120} (2 + y) = 3$ तथा $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . आइए x और y खोजने के लिए इन दो समीकरणों को हल करें।

$\dpi{120} (2 + y) = 3\दायां तीर y = 3-2\दायां तीर y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

प्रश्न 3 का समाधान

हमारे पास है $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ तथा $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ और हम value का मान निर्धारित करना चाहते हैं $\dpi{120} A\cdot B$ , कब $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ तथा $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

सबसे पहले, हम गणना करते हैं $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणन के व्यंजक द्वारा, हमें यह करना होता है:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \दायां तीर A =29$

अब गणना करते हैं $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

इसलिए, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

प्रश्न 4. का समाधान

हम के मान की गणना करना चाहते हैं $\डीपीआई{120} पी$ तथा $\डीपीआई{120} क्यू$ किस बात का $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , कब $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ तथा $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

इसका अर्थ है खोजना $\डीपीआई{120} पी$ तथा $\डीपीआई{120} क्यू$ ताकि:

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$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

दो सम्मिश्र संख्याओं के विभाजन के व्यंजक द्वारा, हमें यह करना होता है:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

दो शर्तों को मिलाकर, हमारे पास होना चाहिए:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

अर्थात:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

आइए इनमें से प्रत्येक समीकरण को हल करें, दूसरे से शुरू करें जो केवल पी पर निर्भर करता है।

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \दायां तीर p = -16$

अब, हम दूसरे समीकरण से q पाते हैं:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \दायां तीर q = 7$

प्रश्न 5. का समाधान

हम का मान ज्ञात करना चाहते हैं $\dpi{120} से$ किस बात का $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या हो।

एक शुद्ध काल्पनिक संख्या वह होती है जिसका वास्तविक भाग शून्य के बराबर होता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच विभाजन के व्यंजक को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास वह है:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

इस संख्या के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, हमारे पास होना चाहिए:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \दायां तीर 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \दायां तीर a = -2$

प्रश्न 6. का समाधान

शक्तियों और जटिल संख्याओं को परिभाषित करके हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} मैं^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} मैं ^2 = -1$
$\dpi{120} मैं^3 = -i$
$\dpi{120} मैं^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} मैं^6 = -1$
$\dpi{120} मैं^7 = -i$

एक पैटर्न का निरीक्षण करें जो हर चार क्रमिक शक्तियों को दोहराता है: 1, i, -1 और -i।

इस प्रकार, i के किसी भी घात पर परिणाम प्राप्त करने के लिए, बस घातांक को 4 से भाग दें। विभाजन का शेष भाग 0, 1, 2 या 3 होगा और यह मान वह घातांक होगा जिसका हमें उपयोग करना चाहिए।

द) $\dpi{120} मैं^{16}$

16: 4 = 4 और शेष 0 है।

फिर, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .