लघुगणक क्या है?

लोगारित्म के विपरीत एक ऑपरेशन के रूप में परिभाषित किया गया है क्षमता या घातीय।

पोटेंशिएशन में, हम आधार और घातांक को जानते हैं और हम एक घात की गणना करना चाहते हैं। लघुगणक में, हम आधार और शक्ति को जानते हैं और हम घातांक का मूल्य जानना चाहते हैं।

तो, महसूस करें कि लघुगणक नहीं है विकिरण, चूंकि उत्तरार्द्ध में हम शक्ति को देखते हुए आधार मूल्य की तलाश करते हैं।

उदाहरण: घातांक x का मान क्या होना चाहिए

$\dpi{120} \mathrm{5^x = 25}?$

हम जानते हैं कि $\dpi{120} 5^2 = 25$ , तो घातांक x 2 के बराबर होना चाहिए।

तो हम कह सकते हैं कि आधार 5 में 25 का लघुगणक 2 के बराबर है:

$\dpi{120} \mathrm{log\, _5\, 25} = 2$

लघुगणक की औपचारिक परिभाषा के लिए नीचे देखें।

लघुगणक की परिभाषा:

दो सकारात्मक संख्याओं को देखते हुए, तथा ख, साथ से $\dpi{120} \mathrm{a\neq 1}$ , हम कहते हैं कि का लघुगणक ख बेस पर बराबर संख्या है एक्स यदि और केवल यदि, बढ़ाया गया एक्स यह वैसा ही है जैसा ख, अर्थात्:

$\dpi{150} \mathbf{\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b}$

किस पर:

आधार
खलघुगणक
एक्सलघुगणक

उदाहरण: के मान की गणना करें $\dpi{120} \mathrm{x}$ हर मामले में।

द) $\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = x}$

परिभाषा के अनुसार, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \mathrm{9^x = 81}$

पसंद $\dpi{120} 9^2 = 81$ , तब फिर, $\dpi{120} \mathrm{x= 2}$ . इस प्रकार:

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$\dpi{120} \mathrm{\log_9 81 = 2}$

बी) $\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = x}$

परिभाषा के अनुसार, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \mathrm{2^x = 8}$

पसंद $\dpi{120} 2^3 = 8$ , तब फिर, $\dpi{120} \mathrm{x= 3}$ . इस प्रकार:

$\dpi{120} \mathrm{\log_2 8 = 3}$

लघुगणक गुण

लघुगणक की परिभाषा से, हमारे पास तत्काल निम्नलिखित परिणाम हैं:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a1 = 0}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_aa = 1}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_aa^c = c}$

4) बी = सी $\dpi{120} \mathrm{log_ab = log_ac}$

5) $\dpi{120} \mathrm{a^{log_ab} = b}$

और यह लघुगणक गुण वो हैं:

1) $\dpi{120} \mathrm{log_a (b\cdot c) = log_ab + log_ac}$

2) $\dpi{120} \mathrm{log_a\bigg(\frac{b}{c} \bigg) = log_ab - log_ac}$

3) $\dpi{120} \mathrm{log_ab^c = c\cdot log_ab}$

4) $\dpi{120} \mathrm{log_ab = \frac{log_cb}{log_ca}}$

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