अर्ध चाप के त्रिकोणमितीय फलन

पर त्रिकोणमितीय कार्य, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा, चाप के आधे हिस्से को दोहरे चाप के त्रिकोणमितीय कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है।

माप के चाप को देखते हुए $\dpi{120} \alpha$ , दोहरा धनुष धनुष है $\dpi{120} 2\alpha$ और आधा धनुष धनुष है $\dpi{120} \alpha/2$ .

द्वारा दो चाप जोड़ सूत्र, हमारे पास दोहरे चाप के त्रिकोणमितीय कार्य हैं:

ज्या:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ अल्फा} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{सेन (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (सेन\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

कोज्या:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ अल्फा} \cdot sin\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})=cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

स्पर्शरेखा:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - तन\, {\alpha} \cdot तन\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

इन सूत्रों से, हम के सूत्र दिखाएंगे आधा चाप त्रिकोणमितीय कार्य.

अर्ध चाप के त्रिकोणमितीय फलन

में से एक त्रिकोणमिति के मौलिक संबंध यह है कि:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

हमें कहाँ मिलता है:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ क्योंकि^2\alpha = 1-सेन^2\alpha}$

जगह $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ दोहरे चाप की कोज्या के सूत्र में, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

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$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

इसलिए: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

जगह $\dpi{120} \alpha$ प्रति $\dpi{120} \alpha/2$ उपरोक्त सूत्र में और दोनों तरफ वर्गमूल निकालने पर, हमारे पास सूत्र है we चाप आधा. की कोज्या:

$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

नोट: सूत्र में चिन्ह चाप आधे के चतुर्थांश के अनुसार धनात्मक या ऋणात्मक होगा।

अब बदल रहा है $\dpi{120} \mathrm{ क्योंकि^2\alpha = 1-सेन^2\alpha}$ दोहरे चाप की कोज्या के सूत्र में, हमें यह करना होगा:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - सेन^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

इसलिए:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

जगह $\dpi{120} \alpha$ प्रति $\dpi{120} \alpha/2$ उपरोक्त सूत्र में और दोनों तरफ वर्गमूल निकालने पर, हमारे पास सूत्र है we चाप आधा. की ज्या:

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$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

नोट: सूत्र में चिन्ह चाप आधे के चतुर्थांश के अनुसार धनात्मक या ऋणात्मक होगा।

अंत में, हम चाप के आधे भाग की स्पर्शरेखा प्राप्त कर सकते हैं, चाप की ज्या को चाप के आधे भाग की कोज्या से विभाजित कर सकते हैं:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \अल्फा}}}$

इसलिए,. का सूत्र आधा चाप स्पर्शरेखा é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ अल्फा}}}}$

नोट: सूत्र में चिन्ह चाप आधे के चतुर्थांश के अनुसार धनात्मक या ऋणात्मक होगा।

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