द्वितीय डिग्री समीकरण: गणना कैसे करें, प्रकार, अभ्यास

द्वितीय डिग्री समीकरण की विशेषता है एक के लिए बहुपद घात 2 का, अर्थात ax. प्रकार का एक बहुपद²+बीएक्स+सी, जहां , ख तथा सी वो हैं वास्तविक संख्याये. डिग्री 2 के समीकरण को हल करते समय, हम अज्ञात के लिए मान खोजने में रुचि रखते हैं। एक्स जो व्यंजक का मान 0 के बराबर कर देता है, जिसे मूल कहते हैं, अर्थात् ax² + बीएक्स + सी = 0।

यह भी पढ़ें: फ़ंक्शन और समीकरण के बीच अंतर

द्वितीय डिग्री समीकरणों के प्रकार

द्वितीय डिग्री समीकरण द्वारा दर्शाया गया है: ax²+bx+c=0.

द्वितीय डिग्री समीकरण हो सकता है ax²+bx+c=0. द्वारा दर्शाया गया, जहां गुणांक , ख तथा सी वास्तविक संख्याएं हैं, के साथ ≠ 0.

→ उदाहरण

ए) 2x² +4x - 6 = 0 → ए = 2; बी = 4 और सी = - 6

बी) एक्स² - 5x + 2 = 0 → ए = 1; बी = - 5 और सी = 2

सी) 0.5x² + एक्स -1 = 0 → ए = 0.5; बी = 1 और सी = -1

द्वितीय डिग्री समीकरण को के रूप में वर्गीकृत किया गया है पूर्ण जब सभी गुणांक 0 से भिन्न हों, अर्थात, ≠ 0, ख 0 और सी ≠ 0.

द्वितीय डिग्री समीकरण को के रूप में वर्गीकृत किया गया है अधूरा जब गुणांकों का मान ख या सी 0 के बराबर हैं, यानी b = 0 या c = 0।

→ उदाहरण

ए) 2x² - 4 = 0 → ए = 2; बी = 0 और सी = - 4

बी) -एक्स² + 3x = 0 → ए = - 1; बी = 3 और सी = 0

सी) एक्स² = 0 → ए = 1; बी = 0 और सी = 0

सचेत: गुणांक मूल्य यह कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है, यदि ऐसा होता है, तो समीकरण दूसरी डिग्री नहीं रह जाता है।

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दूसरी डिग्री के समीकरणों को कैसे हल करें?

द्वितीय डिग्री समीकरण का हल तब होता है जब जड़ों पाए जाते हैं, अर्थात्, को असाइन किए गए मान एक्स। के ये मान एक्स समानता को सत्य बनाना चाहिए, अर्थात. के मान को प्रतिस्थापित करके एक्स व्यंजक में, परिणाम 0 के बराबर होना चाहिए।

→ उदाहरण

एक्स समीकरण को ध्यान में रखते हुए² - 1 = 0 हमारे पास x' = 1 और x'' = - 1 समीकरण के समाधान हैं, क्योंकि इन मानों को व्यंजक में रखने पर हमें वास्तविक समानता प्राप्त होती है। देखो:

एक्स² – 1 = 0

(1)² - 1 = 0 और (-1)² – 1 = 0

a. का समाधान खोजने के लिए समीकरण, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि क्या समीकरण पूर्ण और अपूर्ण है और चयन करें कि किस विधि का उपयोग किया जाएगा।

• प्रकार के समीकरणों के लिए समाधान विधि कुल्हाड़ी+ सी = 0

अधूरे समीकरणों के हल को निर्धारित करने की विधि जिसमें ख=0अज्ञात को अलग करने के होते हैं एक्स, इस प्रकार:

→ उदाहरण

समीकरण की जड़ें खोजें 3x² – 27 = 0.

यदि आप इस विधि के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो यहां जाएं: शून्य गुणांक b. के साथ द्वितीय डिग्री अपूर्ण समीकरण.

• प्रकार के समीकरणों के लिए समाधान विधि कुल्हाड़ी² + बीएक्स = 0

के साथ एक समीकरण के संभावित समाधान निर्धारित करने की विधि सी = 0, using का उपयोग करने के होते हैं सबूत फैक्टरिंग. देखो:

कुल्हाड़ी² + बीएक्स = 0

x·(कुल्हाड़ी + ख) = 0

अंतिम समानता को देखते समय, यह ध्यान देने योग्य है कि एक गुणन है और परिणाम 0 होने के लिए, यह आवश्यक है कि कारकों में से कम से कम एक 0 के बराबर हो।

x·(कुल्हाड़ी + ख) = 0

एक्स = 0 या कुल्हाड़ी + बी = 0

इस प्रकार, समीकरण का हल निम्न द्वारा दिया गया है:

→ उदाहरण

समीकरण का हल ज्ञात कीजिए 5x² - 45x = 0

यदि आप इस विधि के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो यहां जाएं: अशक्त गुणांक c. के साथ अपूर्ण द्वितीय डिग्री समीकरण.

• पूर्ण समीकरणों के लिए समाधान विधि

विधि के रूप में जाना जाता है भास्कर विधि या भास्कर सूत्र इंगित करता है कि कुल्हाड़ी प्रकार के 2 डिग्री समीकरण की जड़ें² + बीएक्स + सी = 0 निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

→ उदाहरण

समीकरण का हल ज्ञात कीजिए एक्स² - एक्स - 12 = 0।

ध्यान दें कि समीकरण में गुणांक हैं: ए = 1; ख= - 1 और सी = – 12. इन मूल्यों को भास्कर के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

डेल्टा (Δ) का नाम के नाम पर रखा गया है भेदभाव और ध्यान दें कि यह अंदर है a वर्गमूल और, जैसा कि हम जानते हैं, वास्तविक संख्याओं को ध्यान में रखते हुए, ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालना संभव नहीं है।

विभेदक के मूल्य को जानने के बाद, हम द्वितीय डिग्री समीकरण के समाधान के बारे में कुछ बयान दे सकते हैं:

→ सकारात्मक विभेदक (Δ > 0): समीकरण के दो समाधान;

→ विवेचक शून्य के बराबर (Δ = 0): समीकरण के समाधान दोहराए जाते हैं;

→ नकारात्मक विभेदक (Δ <0): वास्तविक समाधान स्वीकार नहीं करता।

दूसरी डिग्री समीकरण प्रणाली

जब हम एक साथ दो या दो से अधिक समीकरणों पर विचार करते हैं, तो हमारे पास a समीकरणों की प्रणाली. 2-चर प्रणाली का समाधान है आदेशित जोड़े का सेट जो एक साथ शामिल सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।

→ उदाहरण

प्रणाली पर विचार करें:

मानों के साथ: x' = 2, x'' = - 2 और y' = 2, y'' = - 2 हम क्रमित युग्मों को इकट्ठा कर सकते हैं जो एक साथ सिस्टम समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। देखें: (2, 2), (2, - 2), (-2, 2), (-2, - 2)।

याद रखें कि एक क्रमित जोड़ा फॉर्म (x, y) के रूप में लिखा जाता है।

समीकरणों के निकाय का हल ज्ञात करने की विधियाँ के समान होती हैं रैखिक प्रणाली.

→ उदाहरण

प्रणाली पर विचार करें:

समीकरण x - y = 0 से, आइए अज्ञात को अलग करें एक्स, इस प्रकार:

एक्स - वाई = 0

एक्स = वाई

अब हमें अलग किए गए मान को दूसरे समीकरण में इस तरह से बदलना होगा:

एक्स² - एक्स -12 = 0

आप² - वाई -12 = 0

भास्कर की विधि का उपयोग करते हुए, हमें यह करना होगा:

चूँकि x = y, हमारे पास x' = y' और x'' = y'' होगा। अर्थात:

एक्स' = 4

एक्स '' = -3

इस प्रकार, क्रमित जोड़े सिस्टम (4, 4) और (-3, - 3) के समाधान हैं।

अधिक पढ़ें: पहली और दूसरी डिग्री समीकरणों की प्रणाली

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (ESPM -SP) नीचे दिए गए समीकरण के हल दो संख्याएँ हैं

ए) चचेरे भाई।

बी) सकारात्मक।

ग) नकारात्मक।

घ) जोड़े।

ई) विषम।

समाधान

हम जानते हैं कि भिन्न के हर शून्य के बराबर नहीं हो सकते हैं, इसलिए x 1 और x≠3। और चूंकि हमारे पास भिन्नों की समानता है, हम प्राप्त करके क्रॉस-गुणा कर सकते हैं:

(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)

एक्स² + 6x +9 = 3x² - 2x - 1

एक्स² - 3x² + 6x + 2x +9 +1 = 0

(– 1) - 2x² + 8x +10 = 0 (– 1)

2x² - 8x - 10 = 0

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है:

एक्स² - 4x - 5 = 0

भास्कर के सूत्र का प्रयोग करते हुए यह इस प्रकार है:

ध्यान दें कि समीकरण के मूल विषम संख्याएँ हैं।

वैकल्पिक ई.

प्रश्न 2 - (यूएफपीआई) एक कुक्कुट किसान ने पाया कि प्रत्येक उपलब्ध एवियरी में (एन +2) पक्षियों को रखने के बाद, केवल एक पक्षी बचेगा। n के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए पक्षियों की कुल संख्या हमेशा होती है

ए) एक सम संख्या।

बी) एक विषम संख्या।

ग) एक पूर्ण वर्ग।

d) 3 से विभाज्य संख्या

ई) एक प्रमुख संख्या।

समाधान

प्रत्येक में रखे गए पक्षियों की संख्या से एवियरी की संख्या को गुणा करके पक्षियों की संख्या ज्ञात की जा सकती है। उनमें से, इस प्रक्रिया को करने के बाद भी अभ्यास के कथन से एक पक्षी बचा है, यह सब हम निम्नलिखित में लिख सकते हैं तौर तरीका:

एन · (एन+2) +1

वितरण करने से हम प्राप्त करेंगे:

नहीं न² + 2एन +1

और इस बहुपद का गुणनखंडन करने पर यह इस प्रकार है:

(एन+1)²

इस प्रकार, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए पक्षियों की कुल संख्या हमेशा एक पूर्ण वर्ग होती है।

वैकल्पिक सी

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक