आयत: तत्व, विशेषताएँ और गुण

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हे आयत यह है एक बहुभुज समतल ज्यामिति में अध्ययन किया। चूंकि इसकी चार भुजाएँ हैं, इसलिए इसे एक चतुर्भुज के रूप में वर्गीकृत किया गया है, और इसे आयत कहा जाता है क्योंकि इसमें चार समकोण, यानी 90º के माप के साथ।

आयत a. होने के लिए विरासत में मिली संपत्तियां हैं चतुष्कोष और विशिष्ट गुण भी। एक आयत का क्षेत्रफल जानने के लिए, हम आधार और ऊँचाई के गुणनफल की गणना करते हैं; इसका परिमाप इसकी सभी भुजाओं के योग के बराबर है। आयत में दो विकर्ण होते हैं, और उनका एक गुण यह है कि वे सर्वांगसम हैं। विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं।

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आयत तत्व

आयत a. है चार भुजाओं वाला बहुभुज और जिसका कोणों सीधे हैं. उस ज्यामितीय रूप यह रोजमर्रा की जिंदगी में काफी आम है, जैसे घरों की फर्श योजना, बक्से के चेहरे, दरवाजे, अन्य वस्तुओं के बीच जिनका आकार होता है।

आयत है चार भुजाएँ, चार शीर्ष, चार आंतरिक कोण, और दो विकर्णों को खींचना संभव है।

A, B, C और D आयत के शीर्ष हैं।
AB, AD, BC और CD आयत की भुजाएँ हैं।
एसी और बीडी विकर्ण हैं।

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आयत गुण

आयत में महत्वपूर्ण गुण होते हैं, जो इस तथ्य से विरासत में मिलते हैं कि यह एक है समानांतर चतुर्भुज, यानी समानांतर पक्ष हैं। हमें करना ही होगा:

सम्मुख भुजाएँ समांतर और सर्वांगसम होती हैं।
एक ही तरफ के दो आंतरिक कोण हमेशा संपूरक होते हैं, अर्थात वे 180º तक जोड़ते हैं।
सभी कोण 90 measure मापते हैं, इसलिए, अन्य समांतर चतुर्भुजों की तरह, सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं और आसन्न कोण हमेशा पूरक होते हैं।
विकर्ण सदैव सर्वांगसम होते हैं।
विकर्णों का मिलन बिंदु भी प्रत्येक विकर्ण का मध्यबिंदु होता है।

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आयत क्षेत्र

अन्य बहुभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आयत क्षेत्र की गणना काफी बार-बार होती है। क्योंकि क्षेत्रफल की गणना के लिए इसका एक बहुत ही सरल सूत्र है, एक बहुभुज को उसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कई आयतों में विभाजित करना आम बात है, और इसलिए आयत क्षेत्र बहुभुजों में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

आयत का क्षेत्रफल जानने के लिए, हम गणना करते हैं आधार और ऊंचाई के बीच गुणा:

ए = बी × एच

आयत परिधि

आयत का परिमाप, अन्य बहुभुजों की तरह, के बराबर है इसके सभी पक्षों का योग.

परिधि की गणना बहुभुज रूपरेखा की लंबाई का पता लगा रही है। आयत में, जैसा कि हम जानते हैं, भुजाएँ दो बटा दो सर्वांगसम हैं, तब सूत्र का उपयोग करके आयत की परिधि की गणना करना संभव है:

पी = 2 (बी + एच)

उदाहरण:

उस आयत का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 5 सेमी और 7 सेमी मापी गई हैं।

जैसे कि इसके अलावा क्रमविनिमेय है, अर्थात भागों के क्रम से योग नहीं बदलता है, हम b = 5 और h = 7 चुन सकते हैं।

पी = 2(5 + 7)

पी = 2 · 12

पी = 24 सेमी

ए = बी × एच

ए = 5 × 7

एच = 35 सेमी²

आयत विकर्ण

जब हम आयत के किसी भी विकर्ण को खींचते हैं, तो हम उसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, इसलिए, आप आयत की विकर्ण लंबाई का पता लगा सकते हैं गड्ढे का प्रमेयáअब क.

डी² = बी² + एच²

आयत समलम्ब

ट्रेपेज़, आयत की तरह, एक चतुर्भुज है। अंतर यह है कि, ट्रेपेज़ में, केवल दो पक्ष समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं। जब एक ट्रेपेज़ के दो समकोण होते हैं, वह के रूप में जाना जाता है ट्रापेज़ आयताकार।

आयत त्रिभुज

हे सही त्रिकोण यह गणित के लिए बहुत महत्व का बहुभुज है। गहराई से अध्ययन करें, यह है जहां के अधिकांश अध्ययन त्रिकोणमिति, और उनके पक्षों के बीच महत्वपूर्ण पाइथागोरस संबंध भी हैं। आयताकार, वर्गों और हीरे को हमेशा उनके विकर्णों द्वारा, समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। एक त्रिभुज एक आयत होता है जब उसका एक समकोण होता है, जो कि 90º के बराबर होता है।

साथ ही पहुंचें: त्रिभुज को वर्गीकृत करने के लिए मानदंड क्या हैं?

सुनहरा आयत

स्वर्ण आयत, जिसे स्वर्ण आयत भी कहा जाता है, की गणितज्ञों, वास्तुकारों और कलाकारों द्वारा बहुत प्रशंसा की जाती है। इस प्रकार उन्हें स्वर्णिम अनुपात रखने के लिए जाना जाता है. चित्रों और कलात्मक निर्माणों में सुनहरे अनुपात के अस्तित्व को महसूस करना काफी सामान्य है। कई बार यह अनुपात यह सुंदर मानी जाने वाली वस्तुओं से संबंधित है, क्योंकि यह सामंजस्य बनाए रखता है। जब हम आयत को विभाजित करते हैं, तो इसे सुनहरा माना जाता है, हमें यह करना होगा:

जब आयत सुनहरा होता है, तो इसकी भुजाओं के बीच का अनुपात 1 से लगभग 1.618 तक होता है, अपरिमेय संख्या Φ = 1.61803398875…

हल किए गए व्यायाम

प्रश्न 1 - (आईएफजी 2019) गौर कीजिए कि एक टेलीविजन का आकार, इंच में दिया गया, आपकी लंबाई से मेल खाता है विकर्ण और वह, पूर्ण आकार के टेलीविजन के मामले में, चौड़ाई और ऊंचाई एक क्रमबद्ध तरीके से अनुसरण करती है, 4:3. नीचे दिए गए चित्र को देखें और मान लें कि 1 इंच लगभग 2.5 सेमी. है

40 इंच के फ्लैट पैनल टेलीविजन के संबंध में, यह कहना सही है कि इसकी चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः हैं:

ए) 60 सेमी और 45 सेमी

बी) 80 सेमी और 60 सेमी

सी) 64 सेमी और 48 सेमी

डी) 68 सेमी और 51 सेमी

संकल्प

वैकल्पिक बी. आकृति के विकर्ण को ट्रेस करके, हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज बनाना संभव है। चूंकि भुजाओं में 3 से 4 का अनुपात होता है, तो हमारे पास 3x मापने के लिए ऊंचाई और 4x की लंबाई होती है। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए, हमें यह करना होगा:

(3x) + (4x²) = 40²

9x² + 16x² = 1600

25x² = 1600

x² = १६००/२५

एक्स² = 64

एक्स = 64

एक्स = 8

x का मान जानने पर एक भुजा का माप, इंच में होता है:

3x → 3 · 8 = 24"

4x → 4 · 8 = 32"

चूँकि 1 इंच 2.5 सेमी के बराबर होता है, इसलिए हमें:

२४ · २.५ = ६० सेमी