विश्लेषणात्मक ज्यामिति क्या है?

विश्लेषणात्मक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो studies का अध्ययन करती है समतल ज्यामिति तथा स्थानिक बीजगणितीय प्रक्रियाओं के माध्यम से। इसका मतलब है कि संपूर्ण ज्यामितिइयूक्लिडियन द्वारा स्थापित प्रक्रियाओं के माध्यम से अध्ययन किया जा सकता है ज्यामितिविश्लेषणात्मक. इस तरह, वह यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए नई तकनीकों का निर्माण करती है जिनका उपयोग प्रमेयों को सिद्ध करने, गुण बनाने और प्रदर्शित करने आदि के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की नींव

का अध्ययन करने के लिए उठाया जाने वाला पहला कदम ज्यामितिइयूक्लिडियन (सपाट और स्थानिक), के माध्यम से कानून सूटबीजगणितीय, पेश करने के लिए तंत्र बनाना है बीजगणित उस अनुशासन में। इस प्रयोजन के लिए, संख्या रेखा का उपयोग किया जाता है ताकि विशिष्ट बिंदु निरूपित करें वास्तविक संख्याये अद्वितीय। इतना दूरी के किसी भी बिंदु के बीच संख्या रेखा और इसका मूल रेखा पर उस बिंदु के स्थान के सापेक्ष एक वास्तविक संख्या है। इस वास्तविक संख्या को कहा जा सकता है बिंदु निर्देशांक.

दो स्ट्रेट्स लेना सीधा जो मूल में हैं, उनके द्वारा बनाए गए तल के भीतर किसी भी बिंदु की स्थिति का पता लगाना संभव है एक आदेशित जोड़ी का उपयोग करना, जो दो निर्देशांकों का समुच्चय है, प्रत्येक उनके द्वारा परिभाषित पंक्तियों में से एक के सापेक्ष है उस

समतल. वही तीन ओर्थोगोनल लाइनों के लिए जाता है जो उनके मूल पर मिलते हैं: वे एक त्रि-आयामी स्थान बनाते हैं, जिसमें किसी भी बिंदु के स्थान को आदेशित शर्तों के माध्यम से निर्धारित करना संभव है।

हे समतल ऊपर वर्णित, दो लम्बवत रेखाओं द्वारा निर्मित, जो उनके मूल स्थान पर मिलती हैं, कहलाती हैं समतलकाटीज़ियन. यह योजना पहला स्थान है जिसमें हम अध्ययन करते हैं ज्यामितिविश्लेषणात्मक.

इतना में सीधे में कितना समतल और इसमें अंतरिक्ष, इसे परिभाषित करना संभव है दो बिंदुओं के बीच की दूरी. उस दूरी की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है सीधा खंड जो उन्हें जोड़ता है। अब एक कार्तीय तल की कल्पना करें और उस पर बिंदु A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1) और D(1, 0) हैं। ये बिंदु एक वर्ग बनाते हैं, और इसे निम्न आकृति में देखा जा सकता है:

अब मत रोको... विज्ञापन के बाद और भी बहुत कुछ है;)

उपरोक्त बिंदुओं से बनी आकृति के सभी आंतरिक कोण सीधे हैं, और दूरी दो क्रमागत बिंदुओं के बीच हमेशा 1 इकाई के बराबर होता है।

इसलिए, की अवधारणा दूरीके बीच मेंदोअंक संपूर्ण में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है ज्यामितिविश्लेषणात्मक. यह अवधारणा कुछ तत्वों की परिभाषा से अनुमति देती है, जैसे कि रेखा खंड की लंबाई, ज्यामिति के महत्वपूर्ण प्रमेयों के प्रदर्शन के लिए।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी

जैसा कि पहले कहा गया है, की अवधारणा दूरीके बीच मेंदोअंक के सबसे महत्वपूर्ण में से एक है ज्यामितिविश्लेषणात्मक. पिछली छवि में वर्ग में, दिखाई गई दूरियां x-अक्ष या y-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएं थीं, लेकिन कार्टेशियन तल पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना संभव है।

उसके लिए, आइए बीजगणित की ओर मुड़ें। अंक A(x .) को देखते हुएआप) और बी (एक्स_खआप_ख), हम जानते हैं कि दूरी इन दो बिंदुओं के बीच खंड AB की लंबाई है। इस खंड को निम्न आकृति में नोट करें:

अक्षों पर बिंदु A और B के प्रक्षेपण से त्रिभुज ABC बनता है, जो C में एक आयत है। ध्यान दें कि खंड AC की लंबाई x. के बराबर है_ख - एक्स, और यह कि खंड BC की लंबाई y. द्वारा दी गई है_ख - आप. खंड AB की लंबाई के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है पाइथागोरस प्रमेय:

प्राप्त यह परिणाम गणना करने का सूत्र है दूरीके बीच मेंदोअंक योजना पर।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखो:

सिल्वा, लुइज़ पाउलो मोरेरा। "विश्लेषणात्मक ज्यामिति क्या है?"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-geometria-analitica.htm. 27 जून, 2021 को एक्सेस किया गया।