वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

वास्तविक संख्याये यह संख्यात्मक सेट को दिया गया नाम है जो सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है और सभी के द्वारा उपयोग किया जाता है, क्योंकि कोई भी पूर्णांक या दशमलव संख्या भी उसी सेट से संबंधित होती है। इसकी सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है: परिमेय संख्याओं के समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का मिलन.

वास्तविक संख्याओं के कुछ उदाहरण:

1 - प्राकृत संख्याओं का समुच्चय. प्रत्येक प्राकृत संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है, क्योंकि प्राकृत संख्याएँ भी परिमेय संख्याएँ होती हैं।

2 - पूर्ण संख्याओं का समुच्चय. प्रत्येक पूर्ण संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है, क्योंकि पूर्ण संख्याएँ भी परिमेय संख्याएँ होती हैं।

3 – दशमलव संख्या. प्रत्येक दशमलव संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है, क्योंकि दशमलव संख्याएँ या तो परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित होती हैं या अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय से।

4 - जड़ें. प्रत्येक मूल, वर्ग या नहीं, एक परिमेय या अपरिमेय संख्या है। इसलिए, यह वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अंतर्गत आता है।

वास्तविक संख्या गुण

हे वास्तविक संख्याओं का समुच्चय निम्नलिखित गुण हैं। वास्तविक संख्या a, b और c को देखते हुए:

1 - कम्यूटेटिविटी: ए + बी = बी + ए

2 - सहयोगीता: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

3 – योग के उदासीन तत्व का अस्तित्व: a + 0 = a

4 - योग के व्युत्क्रम तत्व का अस्तित्व: a + (- a) = 0

5 - क्रमपरिवर्तन: a·b = b·a

6 - सहबद्धता: (a·b)·c = a·(b·c)

7 - गुणन के तटस्थ तत्व का अस्तित्व: a·1 = a

8 - गुणन के व्युत्क्रम तत्व का अस्तित्व: a·(- a)= 1, जहां – a = 1/a

9 - वितरण गुण: a (b + c) = a·b + a·c

परिभाषा का अर्थ समझने के लिए "परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच मिलन”, संघ की अवधारणा के साथ-साथ इनमें से प्रत्येक सेट से संबंधित तत्वों को जानना महत्वपूर्ण है।

सेट के बीच संघ:

संघ का मामला है ऑपरेशन सेट के बीच। दो समुच्चयों के बीच के संघ से संबंधित तत्व एक समुच्चय के होते हैं या दूसरे करने के लिए। शब्द या इंगित करता है कि दोनों समुच्चयों के सभी तत्व उनके बीच के संघ से संबंधित हैं, लेकिन संघ में कोई भी तत्व दोहराया नहीं जाता है।

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उदाहरण के लिए: मान लें कि समुच्चय A = {1, 2, 3} और B = {3, 4, 5}, A और B के बीच के संघ को AUB = {1, 2, 3, 4, 5} द्वारा दर्शाया गया है। तत्व जो A. से संबंधित हैं या बी के लिए

परिमेय संख्याओं का समुच्चय:

परिमेय संख्याओं का समुच्चय उन सभी संख्याओं से बनता है जिन्हें भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। तीन प्रकार की संख्याएँ हैं जो इस परिभाषा के अनुकूल हैं:

1 - पूर्ण संख्या

2 - परिमित दशमलव संख्या

3 - आवधिक दशमांश

इसका कारण यह है कि किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में तब तक लिखा जा सकता है जब तक कि पूर्ण संख्या ही अंश हो और 1 हर हो। इस भिन्न से, एक ही परिणाम के साथ अनंत भिन्नों को खोजना संभव है, बस अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करना।

दूसरी ओर, परिमित दशमलव को पिछले चरण को पूरा करके और गुणा करके भिन्नों में बदला जा सकता है 10 की कुछ घात से भिन्न, जहां घातांक दशमलव के दशमलव स्थानों की संख्या के बराबर है परिमित।

आवधिक दशमांश, बदले में, भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है एक उपकरण का उपयोग करना जिसमें समीकरणों और समीकरणों की प्रणाली शामिल है।

वो हैं परिमेय संख्या समुच्चय के उपसमुच्चय: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय और पूर्णांकों का समुच्चय। अतः प्राकृत और पूर्णांक संख्याएँ भी वास्तविक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय संख्याओं का समूह:

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है पूरकतर्कों का सेट। इसका अर्थ है कि अपरिमेय संख्याएँ उन संख्याओं का समुच्चय हैं जो परिमेय नहीं हैं। इस प्रकार, कोई भी संख्या जिसे भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता एक अपरिमेय संख्या है।. इस परिभाषा में फिट होने वाली संख्याएँ हैं:

1 - गैर-आवधिक अनंत दशमलव;

2 - अचूक जड़ें।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखो:

सिल्वा, लुइज़ पाउलो मोरेरा। "असली संख्याएं क्या हैं?"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm. 27 जून, 2021 को एक्सेस किया गया।