अंडाकार एक सपाट आकृति है जिसे a. के रूप में वर्गीकृत किया गया है चोटीदार, क्योंकि वह अनुभाग से प्राप्त किया जा सकता है एक योजना का एक शंकु में. एक अंडाकार आकृति के साथ एक सपाट आकृति ढूँढना रोजमर्रा की जिंदगी में काफी आम है। सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति को समझाने के लिए इसका व्यापक अध्ययन किया गया है, क्योंकि इन तारों की कक्षाएँ दीर्घवृत्त हैं।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति गणित का वह क्षेत्र है जो बीजगणितीय रूप से ज्यामितीय आकृतियों का वर्णन करना चाहता है, जिसमें शामिल हैं, दीर्घवृत्त का गहराई से अध्ययन किया जाता है विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक समीकरण के माध्यम से इसका वर्णन करना संभव है जो इसके तत्वों को ध्यान में रखता है। दीर्घवृत्त के मुख्य तत्व हैं:
प्रमुख धुरी
छोटी धुरी
फोकल दूरी
फॉसी एफ1 और एफ2
हम दीर्घवृत्त को उन बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हैं जहाँ इन बिंदुओं की फ़ोकस F. से दूरी का योग होता है1 और F. पर ध्यान केंद्रित करने के लिए2 यह हमेशा स्थिर रहता है।
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एक दीर्घवृत्त क्या है?
हम एक दीर्घवृत्त के रूप में जानते हैं समतल और समतल के बीच के खंड द्वारा बनाई गई सपाट आकृति शंकु, इस अनुसार:
अंडाकार बनाने के लिए, यह है आपको जानने की जरूरत है दो फोकस, फू1 और एफ2, और प्रमुख अक्ष की लंबाई भी, जो वह रेखा है जो दीर्घवृत्त के सिरों को जोड़ती है, नीचे की छवि में, A द्वारा दर्शाया गया है1 2.
दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a के बराबर है, इसलिए दीर्घवृत्त सभी बिंदुओं P. से बना वक्र हैनहीं न जहां बिंदु से पहले फोकस की दूरी का योग (dP .)नहीं नएफ1) बिंदु से दूसरे फ़ोकस की दूरी के साथ (dP .)नहीं नएफ2) हमेशा स्थिर और 2a के बराबर होता है।
डी पी1एफ1 + डीपी1एफ2 = डीपी2एफ1 + पी2एफ2 = डीपी3एफ1 + डीपी3एफ2 = डीए12 = दूसरा
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अंडाकार तत्व
दीर्घवृत्त के गठन को पूरी तरह से समझने के लिए, इसके प्रत्येक तत्व को जानना आवश्यक है। वे केंद्र, केंद्र, प्रमुख अक्ष और लघु अक्ष हैं। उनके आधार पर, दीर्घवृत्त में महत्वपूर्ण संबंधों का पता लगाना संभव है।
दीर्घवृत्त के केंद्र को बिंदु O द्वारा दर्शाया गया है।
पहले से ही एफ अंक1 और एफ2 अंडाकार foci का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अंक ए1 और यह2 दीर्घवृत्त के क्षैतिज अक्ष के सिरे हैं, और बिंदु B1 और बी2 इसके ऊर्ध्वाधर अक्ष के सिरे हैं।
B. के बीच की दूरी1 और बी2 2b के बराबर है (लघु अक्ष पर दीर्घवृत्त की लंबाई)।
A. के बीच की दूरी1 और यह2 2a (प्रमुख अक्ष पर दीर्घवृत्त की लंबाई) के बराबर है।
F. के बीच फोकस दूरी1 और एफ2 2c के बराबर है।
अवलोकन: यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि F1ख1 क्षैतिज अक्ष के आधे के बराबर लंबाई है, यानी dF1ख1 = ए. इस प्रकार, त्रिभुज A. का विश्लेषण करते समय एक महत्वपूर्ण पाइथागोरस संबंध को समझना भी संभव है1ओबी1. ध्यान दें कि वह एक है सही त्रिकोण. इसलिए, हम लागू कर सकते हैं पाइथागोरस प्रमेय.
ए² = बी² + सी²
अंडाकार के लिए एक और संभावना है, जब सबसे लंबी धुरी लंबवत धुरी होती है। इस मामले में, तत्व समान रहते हैं।
इस मामले में हम पाइथागोरस प्रमेय को भी लागू कर सकते हैं, जो निम्नानुसार है:
बी² = ए² + सी²
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अंडाकार समीकरण
दीर्घवृत्त का विश्लेषणात्मक रूप से अध्ययन किया जाता है कार्तीय विमान. विश्लेषणात्मक ज्यामिति समीकरणों के माध्यम से, के आंकड़ों का वर्णन करना चाहता है समतल ज्यामिति. इस प्रकार, तथाकथित दीर्घवृत्त समीकरण के माध्यम से आकृति का वर्णन करना संभव है।
सबसे पहले, हम एक दीर्घवृत्त का उदाहरण देंगे जिसका नाभियाँ या तो x-अक्ष पर या y-अक्ष पर समाहित हैं, अर्थात दीर्घवृत्त की उत्पत्ति कार्तीय तल की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है।
इस मामले में, दो संभावनाएं हैं, जब प्रमुख अक्ष ऊर्ध्वाधर अक्ष होता है और जब प्रमुख अक्ष क्षैतिज अक्ष होता है:
अवलोकन: फ़ॉसी हमेशा सबसे लंबी धुरी में समाहित होती है, इसलिए यदि a> b, फ़ॉसी क्षैतिज अक्ष में समाहित हैं, और यदि b> a, तो वे लंबवत अक्ष में निहित हैं।
दीर्घवृत्त का केंद्र हमेशा कार्तीय तल के मूल में नहीं होता है, जो इस मामले के लिए दीर्घवृत्त समीकरण के विकास और अनुकूलन को नहीं रोकता है। जब अंडाकार मूल ओ से ऑफसेट होता है ( x0, आप0), इसके समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
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अंडाकार विलक्षणता
हम विलक्षणता के रूप में जानते हैंकारण लंबाई c और दीर्घवृत्त की सबसे लंबी धुरी की आधी लंबाई के बीच. सबसे लंबी धुरी को क्षैतिज मानते हुए, विलक्षणता की गणना निम्न द्वारा की जाती है:
यदि दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है, तो उत्केन्द्रता की गणना निम्न द्वारा की जाएगी:
