सेकंड डिग्री फंक्शन ग्राफ क्या है?

एक कब्जे एक नियम है जो a. के प्रत्येक तत्व से संबंधित है सेट सेट बी के एकल तत्व के लिए ए। यह नियम आमतौर पर a. के माध्यम से प्राप्त किया जाता है बीजगणतीय अभिव्यक्ति बहुत पसंद है समीकरण और, इस बीजीय व्यंजक की डिग्री और इसके चरों की संख्या के आधार पर, इसका ग्राफ बनाना संभव है।

चार्ट परिभाषा

हे ग्राफिक का कब्जे points के बिंदुओं (x, y) का समुच्चय है कार्तीय विमान जो निम्नलिखित शर्त को पूरा करते हैं: y = f(x)। दूसरे शब्दों में, x के प्रत्येक मान के लिए, इसके सापेक्ष y का एक ही मान होता है, जो इसके गठन के नियम द्वारा प्राप्त होता है। कब्जे.

आप ग्राफिक्स प्राथमिक विद्यालय में पढ़े जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण हैं पहली डिग्री समारोह यह से है दूसरा डिग्री। हाई स्कूल में, ग्राफिक्सदेता हैकब्जे लघुगणक, घातांक, त्रिकोणमितीय आदि। इस लेख में, हम एक ऐसी तकनीक के बारे में चर्चा करेंगे जिसका उपयोग. के निर्माण के लिए किया जा सकता है ग्राफिक का कब्जे का दूसराडिग्री.

दूसरी डिग्री फ़ंक्शन ग्राफ

एक कब्जे का दूसराडिग्री वह है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एफ (एक्स) = कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी

जहां ए, बी और सी हैं वास्तविक संख्याये, जिसे हमेशा शून्येतर के साथ गुणांक कहा जाता है, और x स्वतंत्र चर है।

हे ग्राफिक इनमे से कार्यों हमेशा एक है दृष्टांत जिसका निर्माण तीन बिंदुओं से किया जा सकता है: शीर्ष और दो जड़ें, या शीर्ष और दो "यादृच्छिक" बिंदु।

1 - परवलय के शीर्ष का पता लगाना

पर दृष्टान्तों जिसका उपयोग के रूप में किया जा सकता है ग्राफिक का कब्जे का दूसराडिग्री उनकी अवतलता ऊपर या नीचे होनी चाहिए। पहले मामले में, परवलय का एक निचला बिंदु होता है, जहां फ़ंक्शन अब कम नहीं हो रहा है और बढ़ता जा रहा है। दूसरे मामले में, परवलय का एक उच्च बिंदु होता है, जहां फ़ंक्शन बढ़ना बंद हो जाता है और घट जाता है। इस बिंदु को कहा जाता है शिखर.

शीर्ष V = (x .) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए_वीआप_वी), हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

एक्स_वी = - बी
2

तथा

आप_वी = – Δ
4

२ - दृष्टान्त के दो मूल ज्ञात करना

किसी फलन के मूल वे बिंदु होते हैं जिन पर ग्राफिक उसका कब्जे कार्तीय तल का x-अक्ष ज्ञात करता है। के कार्यों के मामले में दूसराडिग्री, जड़ों की संख्या 0, 1 या 2 हो सकती है। यदि फ़ंक्शन की दो जड़ें हैं, तो सबसे अच्छी बात यह है कि उन्हें ग्राफ़ के निर्माण में उपयोग करना है।

a. की जड़ों को खोजने के लिए कब्जेकादूसराडिग्री, उपयोग भास्कर का सूत्र. सबसे पहले, निर्धारित करें भेदभाव समारोह का:

= बी² - 4ac

फिर इसे भास्कर के सूत्र में और साथ ही गुणांक में प्रतिस्थापित करें:

एक्स = - बी ± ?
2

फलन के मूलों के निर्देशांक होंगे: A = (x', 0) और B = (x'', 0)। इन तीन बिंदुओं से, दो मूल और शीर्ष, बस उन्हें कार्तीय तल पर रखें और उन्हें एक के माध्यम से जोड़ दें दृष्टांत. इस प्रक्रिया में, ध्यान दें कि यदि शीर्ष x-अक्ष से ऊपर है, तो परवलय में नीचे की ओर अवतलता होगी, या यदि शीर्ष x-अक्ष के नीचे है, तो इसकी अवतलता ऊपर की ओर होगी।

ऊपर की छवि में, ध्यान दें कि पहला दृष्टांत इसमें x-अक्ष के नीचे एक शीर्ष होता है और इसकी अवतलता ऊपर की ओर होती है। इसके विपरीत दूसरे परवलय के साथ होता है, जिसका शीर्ष x-अक्ष के ऊपर होता है और अवतलता नीचे की ओर होती है।

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उदाहरण:

निर्माण ग्राफिक देता है कब्जे: एफ(एक्स) = एक्स² + 2x - 8.

इसके शीर्ष को खोजने के लिए पहला कदम है कब्जे. अध्ययन किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, हमारे पास होगा:

एक्स_वी = - बी
2

एक्स_वी = – 2
2

एक्स_वी = – 1

आप_वी = – Δ
4

आप_वी = - (बी² - 4एसी)
4

आप_वी = – (2² – 4·1·[– 8])
4

आप_वी = – (4 + 32)
4

आप_वी = – (4 + 32)
4

आप_वी = – (36)
4

आप_वी = – 9

इस प्रकार, के निर्देशांक शिखर उसका दृष्टांत हैं: वी = (-1, -9)।

ध्यान दें कि हम पहले से ही इसका विभेदक मूल्य जानते हैं कब्जे, जो आपको खोजने के लिए बनाया गया था_वी. Δ = 36. भास्कर के सूत्र का उपयोग करके जड़ों को खोजें, हमारे पास होगा:

एक्स = - बी ± ?
2

एक्स = – 2 ± √36
2

एक्स = – 2 ± 6
2

एक्स '= – 2 – 6 = – 8 = – 4
 2 2

एक्स '' = – 2 + 6 = 4 = 2
2 2

तो जड़ों को बिंदुओं पर पाया जा सकता है: ए = (-4, 0) और बी = (2, 0)। कार्टेशियन तल पर इन तीन बिंदुओं को चिह्नित करना, और फिर निर्माण करना दृष्टांत जो उनके बीच से गुजरता है, हमारे पास होगा:

शीर्ष + यादृच्छिक अंक

यह निर्माण तब मान्य होता है जब कब्जे क्या इसकी दो वास्तविक और विशिष्ट जड़ें हैं, अर्थात कब? > 0. जब कब्जे केवल एक वास्तविक जड़ है, या कोई नहीं है, इसका कोई मतलब नहीं है कि आप अपनी जड़ों को खोजने की कोशिश करें ताकि आप अपना निर्माण कर सकें ग्राफिक.

इस मामले में, हम सबसे पहले पाएंगे COORDINATESकाशिखर, तो, दिया गया x_वी शीर्ष का x-निर्देशांक, हम x-मान चुनेंगे_वी + 1 और x_वी - 1 के रूप में अंक “बिना सोचे समझे” और हम इनमें से प्रत्येक बिंदु से संबंधित y का मान ज्ञात करेंगे। इसका परिणाम बिंदु V, A, और B होगा, जड़ों की तरह, इस अंतर के साथ कि बिंदु A और B अब x-अक्ष पर नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें: f (x) = x² + 4.

उस कब्जे कोई जड़ नहीं है, क्योंकि का मूल्य? शून्य से कम है। इस मामले में, हम शीर्ष के निर्देशांक पाएंगे और गणना करेंगे अंक “बिना सोचे समझे”, पहले प्रस्तावित:

एक्स_वी = - बी
2

एक्स_वी = – 0
2

एक्स_वी = 0

आप_वी = – Δ
4

आप_वी = - (बी² - 4एसी)
4

आप_वी = – (0² – 4·1·4)
4

आप_वी = – (– 16)
4

आप_वी = 16
4

आप_वी = 4

इस प्रकार, वी = (0, 4)।

x. लेना_वी = 0, हम करेंगे: x_वी + 1 = 0 + 1 = 1. इस मान को में बदलना कब्जे, इसके सापेक्ष y ज्ञात करने के लिए, हमारे पास होगा:

एफ (एक्स) = एक्स² + 4

च (1) = 1² + 4

च(1) = 5

इसलिए, बिंदु A होगा: A = (1, 5)।

x. लेना_वी = 0, हम यह भी करेंगे: x_वी – 1 = 0 – 1 = – 1. इसलिए:

एफ (एक्स) = एक्स² + 4

f(– 1) = (– 1)² + 4

च (- 1) = 1 + 4

च (- 1) = 5

इसलिए, बिंदु B होगा: B = (-1, 5)।

इतना ग्राफिक उसका कब्जे यह:

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक