त्रिकोणमिति क्या है?

त्रिकोणमिति ग्रीक मूल का एक शब्द है जो तीन कोणों के माप को दर्शाता है। गणित के इस क्षेत्र में अध्ययन पर ध्यान दिया जाता है त्रिभुज, जो बहुभुज हैं जिनकी तीन भुजाएँ हैं और फलस्वरूप, तीन कोण हैं। सबसे पहले, त्रिकोणमिति यह समकोण त्रिभुजों के कुछ गुणों और संबंधों का अध्ययन करने से संबंधित है ताकि बाद में त्रिभुजों की भुजाओं के मापों को कोणों के माप से जोड़ा जा सके।

इन गुणों और संबंधों को के रूप में ज्ञात प्रमेयों के माध्यम से किसी भी त्रिभुज में विस्तारित किया जाता है पाप कानून तथा कोज्या कानून. बाद में, इनमें से कुछ परिणाम त्रिभुजों में देखे गए जिनकी भुजाएँ एक वृत्त के उल्लेखनीय खंड हैं, जिसे "त्रिकोणमितीय वृत्त" के रूप में जाना जाता है।

त्रिकोणमिति एक महान नवीनता का प्रस्ताव करता है। इससे पहले, केवल गणनाओं और गुणों पर विचार करना संभव था जिसमें विशेष रूप से पक्ष या विशेष रूप से त्रिभुज के कोण या इन तत्वों के बीच बुनियादी संबंध शामिल थे। इसके आगमन पर, त्रिभुज की भुजाओं के माप को उसके किसी एक कोण के माप से सीधे जोड़ना संभव है। यह उल्लेखनीय है कि एक त्रिभुज के भीतर उल्लेखनीय पक्षों और खंडों के बीच संबंध भी बनाते हैं त्रिकोणमिति.

की अवधारणा में तल्लीन करने से पहले त्रिकोणमिति, यह जानना महत्वपूर्ण है कि समकोण त्रिभुज में सबसे महत्वपूर्ण तत्व क्या हैं। ये तत्व नीचे दिए गए हैं:

एक समकोण त्रिभुज के तत्व

प्रत्येक समकोण त्रिभुज को दो अन्य समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, आधार "a" के सापेक्ष ऊँचाई "h" का पता लगाना।

इस समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार के साथ दो 90° कोण बनाती है

त्रिभुज ABD को ध्यान में रखते हुए, B में आयत, निम्नलिखित तत्वों का अवलोकन करना संभव है:

1 - भुजाएँ AB और BD भुजाएँ कहलाती हैं और उनके माप क्रमशः c और b हैं;

2 - AD भुजा को कर्ण कहते हैं और इसका माप है a. यह भुजा हमेशा 90° के कोण के विपरीत होगी;

3 - BE त्रिभुज ABD की ऊँचाई AD के सापेक्ष है और इसका माप h है। (याद रखें कि ऊंचाई हमेशा आधार के सापेक्ष 90° का कोण बनाती है);

4 - AE कर्ण के ऊपर AB पैर का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। इसका माप मी है;

5 - ईडी कर्ण के ऊपर बीडी पैर का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है। इसका माप n है।

इसके बाद, हम ऊपर बताए गए समकोण त्रिभुज के तत्वों के आधार पर त्रिकोणमिति में देखे गए कुछ गुणों को प्रस्तुत करते हैं और उन पर चर्चा करते हैं।

समकोण त्रिभुज में मीट्रिक संबंध

वे समानताएं हैं जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं, ऊँचाई और ओर्थोगोनल अनुमानों से संबंधित हैं:

1) सी² = औसत

2) बी · सी = ए · एच

3) एच² = एम · एन

4) बी² = नहीं

5)² = बी² + सी² (पाइथागोरस प्रमेय)

त्रिकोणमितीय अनुपात या समकोण त्रिभुज में अनुपात

ये समानताएं एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के अनुपातों को उसके एक न्यून कोण से संबंधित करती हैं। ऐसा करने के लिए, दो कोणों में से एक को ठीक करना और समकोण त्रिभुज में, विपरीत पक्ष और आसन्न पक्ष की परिभाषाओं का निरीक्षण करना आवश्यक है:

आयत त्रिभुज, α कोण को उजागर करता है

बीडी है विपरीत पैर कोण α;

एबी है आसन्न पैर कोण α के लिए।

परिभाषित करने के लिए ये पूर्वापेक्षाएँ हैं त्रिकोणमितीय अनुपात. क्या वो:

→ α. की ज्या

पाप α = कैथेटस विपरीत α
कर्ण

→ α. की कोज्या

क्योंकि α = α. से सटे कैथेटो
कर्ण

→ α. की स्पर्शरेखा

टीजी α = कैथेटस विपरीत α
α. से सटे कैथेटो

ये कारण किसी पर भी लागू होते हैं सही त्रिकोण जिसका न्यून कोण α के बराबर है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई की परवाह किए बिना, इन विभाजनों का परिणाम हमेशा समान होता है, क्योंकि दो त्रिभुजों के दो समान कोण होते हैं। त्रिभुज समानता कोण-कोण, समानुपाती भुजाएँ होती हैं। इसलिए यह इस प्रकार है कि पक्षों के बीच का अनुपात बराबर है।

त्रिकोणमितीय वृत्त

इसे त्रिकोणमितीय चक्र या त्रिकोणमितीय वृत्त भी कहा जाता है (अधिक सही लेकिन कम सामान्य नाम), यह त्रिज्या 1 का एक उन्मुख वृत्त है। इस परिधि पर, ए सही त्रिकोण, जिसका कोण α मूल के साथ मेल खाता है, जिससे इस त्रिभुज की ऊंचाई भुजिका अक्ष से वृत्त के किनारे तक जाती है।

यह ऊँचाई के मान से मेल खाती है ज्या, क्योंकि यह कोण α की विपरीत भुजा है। वह माप जो उस बिंदु से जाता है जहां ऊंचाई भुजिका के अक्ष से मूल बिंदु तक मिलती है, कोण α से सटे पक्ष के साथ मेल खाता है, अर्थात के मान के साथ कोज्या.

ये संयोग इसलिए होते हैं क्योंकि कर्ण हमेशा 1 होता है, क्योंकि यह वृत्त की त्रिज्या है। नीचे दी गई छवि में इन गुणों पर ध्यान दें:

त्रिज्या 1 का वृत्त, जिस पर इसके गुणों का मूल्यांकन करने के लिए एक समकोण त्रिभुज रखा गया है

उस वृत्त पर जो भी समकोण त्रिभुज बनाया गया हो, वह भुजा जो किसी भाग से मेल खाती हो भुज अक्ष का माप α के कोज्या मान को ठीक से मापता है और दूसरा पक्ष के ठीक ज्या को मापता है α.

त्रिकोणमितीय कार्य

त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके, परिभाषित करना संभव है त्रिकोणमितीय कार्य जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के प्रत्येक अवयव को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के एकल अवयव से भी जोड़ता है। हालाँकि, इन संख्याओं को रेडियन में व्यक्त किया जाता है, जो कि के फलन के रूप में माप की एक इकाई है, क्योंकि 360° के बाद त्रिकोणमितीय वृत्त, डिग्री की गणना और, फलस्वरूप, इसके आधार पर किसी फ़ंक्शन के डोमेन और काउंटर-डोमेन तत्वों को शून्य से पुनरारंभ किया जा सकता है।

मौलिक संबंध

त्रिकोणमिति के मूलभूत संबंध हैं:

1) मौलिक संबंध १

सेन²α + cos²α = 1

2) की स्पर्शरेखा α

टीजी α = पाप α
क्योंकि α

3) का कोटैंजेंट α, जो α. की स्पर्शरेखा का विलोम है

खाट α = क्योंकि α
पाप α

4) सिकंट ऑफ़ α, जो α. की कोज्या का व्युत्क्रम है

सेकंड α = 1
क्योंकि α

5) α का कोसेकेंट, जो α. की ज्या का व्युत्क्रम है

कोसेक α = 1
पाप α

६) संबंध उत्पन्न होना १

टीजी²α + 1 = सेकंड²α

7) संबंध २

खाट²α + 1 = कोसेक²α

8) आवर्ती संबंध 3

खाट α = 1
टीजी α

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm