ज्यामितीय ठोस क्षेत्र

क्षेत्र एक पर ठोसज्यामितिक इसे बनाने वाले प्रत्येक ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग से प्राप्त किया जा सकता है। एक चतुष्फलक, उदाहरण के लिए, है a पिरामिड त्रिकोणीय आधार का। यह पिरामिड चार. से बना है त्रिभुज: एक आधार और तीन पार्श्व फलक। इन त्रिभुजों में से प्रत्येक के क्षेत्रफलों को एक साथ जोड़ने पर हमें चतुष्फलक का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

नियमित टेट्राहेड्रोन दाईं ओर और इसका तल बाईं ओर

नीचे कुछ ज्यामितीय ठोसों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र और उनका उपयोग करने के उदाहरण दिए गए हैं।

कोबलस्टोन क्षेत्र

एक पर विचार करें रास्ते का पत्थर जिसकी लंबाई "x" मापती है, चौड़ाई "y" मापती है और ऊंचाई "z" मापती है, जैसा कि निम्न आकृति में है:

आपकी गणना करने के लिए प्रयुक्त सूत्र क्षेत्र é:

ए = 2xy + 2yz + 2xz

यही सूत्र. पर लागू होता है घन क्षेत्र, जो. का एक विशेष मामला है रास्ते का पत्थर. हालाँकि, चूँकि घन के सभी किनारे समान हैं, यह वाला सूत्र हो सकता है कम किया हुआ. इस प्रकार, एक किनारे के घन L का क्षेत्रफल किसके द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ए = 6L²

उदाहरण 1

a. का क्षेत्रफल क्या है खंड मैथाआयताकार लंबाई और चौड़ाई 10 सेमी के बराबर और ऊंचाई 5 सेमी के बराबर है?

लंबाई = चौड़ाई = 10 सेमी के रूप में, हमारे पास x = 10 और y = 10 होगा। ऊंचाई = 5 सेमी के रूप में, हमारे पास z = 5 होगा। समांतर चतुर्भुज क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास होगा:

ए = 2xy + 2yz + 2xz

ए = २·१०·१० + २·१०·५ + २·१०·५

ए = 200 + 100 + 100

एच = 400 सेमी²

उदाहरण 2

उस घन का क्षेत्रफल क्या है जिसकी भुजा 10 सेमी मापी जाती है?

ए = 6L²

ए = 6·10²

ए = 6·100

एच = 600 सेमी²

सिलेंडर क्षेत्र

देखते हुए सिलेंडर त्रिज्या r और ऊँचाई h का, नीचे दिए गए चित्र द्वारा दर्शाया गया है, a सूत्र आपकी गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है क्षेत्र é:

ए = 2πr (आर + एच)

उदाहरण 3

निश्चित करो क्षेत्र एक बेलन का, जिसकी ऊँचाई 40 सेमी और व्यास 16 सेमी मापता है। = 3 पर विचार करें।

एक लानत वृत्त उसके आधे व्यास के बराबर है (16:2 = 8)। अत: बेलन के आधार की त्रिज्या 8 सेमी के बराबर है। बस इन मानों को सूत्र में बदलें:

ए = 2πr (आर + एच)

ए = २·३·८(८ + ४०)

ए = २·३·८·४८

ए = ६·३८४

एच = 2304 सेमी²

शंकु क्षेत्र

निर्धारित करने के लिए प्रयुक्त सूत्र शंकु क्षेत्र é:

ए = r (आर + जी)

निम्नलिखित चित्र दर्शाता है कि r शंकु की त्रिज्या है और g इसके जनक का माप है।

उदाहरण 4

इसे परिकलित करें क्षेत्र एक पर शंकु जिसका व्यास 24 सेमी है और जिसकी ऊंचाई 16 सेमी है। = 3 पर विचार करें।

पता लगाने के लिए उपायदेता हैजेनरेट्रिक्स शंकु के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति का प्रयोग करें:

जी² = आर² + एच²

चूँकि शंकु की त्रिज्या उसके आधे व्यास के बराबर है, त्रिज्या का माप 24:2 = 12 सेमी है। व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

जी² = आर² + एच²

जी² = 12² + 16²

जी² = 144 + 256

जी² = 400

जी = √400

जी = 20 सेमी

शंकु त्रिज्या और जेनरेट्रिक्स माप को में बदलना सूत्र में क्षेत्र, हमारे पास होगा:

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ए = r (आर + जी)

ए = 3·12(12 + 20)

ए = 36·32

एच = 1152 सेमी²

गोला क्षेत्र

गणना करने के लिए प्रयुक्त सूत्र गोला क्षेत्र त्रिज्या r है:

ए = 4πr²

उदाहरण 5

निम्नलिखित छवि में गोले के क्षेत्रफल की गणना करें। = 3 पर विचार करें।

का उपयोग करते हुए सूत्रदेता हैक्षेत्र देता है गेंद, हमारे पास होगा:

ए = 4πr²

ए = 4·3·5²

ए = 12·25

एच = 300 सेमी²

पिरामिड क्षेत्र

आप प्रिज्म तथा पिरामिड आपके पास नहीं है सूत्रविशिष्ट गणना के लिए क्षेत्र, क्योंकि इसके पार्श्व फलकों और आधारों का आकार बहुत परिवर्तनशील है। हालांकि, एक ज्यामितीय ठोस के क्षेत्र की गणना करना हमेशा संभव होता है, इसे समतल करके और इसके प्रत्येक चेहरे के अलग-अलग क्षेत्रों को जोड़कर।

जब ये ठोस सीधे होते हैं, जैसे चश्मेसीधे और यह पिरामिडसीधे, पहचानना संभव है संबंधों के बीच उपायों इसके पार्श्व चेहरों की।

यह भी देखें:प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना

उदाहरण 6

एक पिरामिड सीधे एक वर्गाकार आधार के साथ 10 सेमी के बराबर एक एपोथेमा और 5 सेमी के बराबर आधार का किनारा होता है। आपका क्षेत्र क्या है?

इस उदाहरण को हल करने के लिए, नीचे दिए गए पिरामिड के चित्र को देखें:

एक वर्गाकार आधार वाले एक सीधे पिरामिड की सभी भुजाएँ सर्वांगसम होती हैं। तो, बस उनमें से एक के क्षेत्र की गणना करें, परिणाम को 4 से गुणा करें और इसे गणना में प्राप्त परिणाम में जोड़ें पिरामिड के आधार का क्षेत्र।

इनमें से किसी एक त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमें उसकी ऊँचाई के माप की आवश्यकता होती है। यह माप पिरामिड के एपोथेमा के बराबर है, इसलिए 10 सेमी। निम्नलिखित सूत्र में, एपोथेमा को एच अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा। इसके अतिरिक्त, त्रिभुजों के सभी आधार सर्वांगसम होते हैं, क्योंकि वे सभी a की भुजाएँ हैं वर्ग और 5 सेमी मापें।

एक पार्श्व चेहरे का क्षेत्र:

ए =  बिहार 
2

ए =  5·10 
2

ए =  50 
2

एच = 25 सेमी²

चार पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल:

ए = 4·25

एच = 100 सेमी²

आधार क्षेत्रफल (जो एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है):

ए = 1²

ए = 5²

एच = 25 सेमी²

इस पिरामिड का कुल क्षेत्रफल:

ए = 100 + 25 = 125 सेमी²

प्रिज्म क्षेत्र

जैसा कि कहा गया है, प्रिज्म क्षेत्र के लिए कोई विशिष्ट सूत्र नहीं है। हमें इसके प्रत्येक फलक के क्षेत्रफल की गणना करनी चाहिए और अंत में उन्हें जोड़ना चाहिए।

उदाहरण 7

क्या है प्रिज्म क्षेत्र सीधा आधार वर्ग, यह जानते हुए कि इस ठोस की ऊंचाई 10 सेमी है और इसके आधार के किनारे की माप 5 सेमी है?

समाधान:

नीचे, समाधान बनाने में सहायता के लिए प्रिज्म की एक छवि देखें:

अभ्यास सूचित करता है कि आधारकाचश्मे यह चौकोर है। इसके अलावा, दो प्रिज्म आधार सर्वांगसम हैं, अर्थात, इनमें से किसी एक आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, दो प्रिज्म आधारों के क्षेत्रफल को निर्धारित करने के लिए इस माप को 2 से गुणा करें।

_ख = 1²

_ख = 5²

_ख = 25 सेमी²

साथ ही, चूंकि इसका आधार वर्गाकार है, इसलिए यह देखना आसान है कि इसमें है चारचेहरे केपक्षों, जो सर्वांगसम भी हैं, क्योंकि ठोस सीधा है। तो, पार्श्व चेहरों में से किसी एक का क्षेत्रफल ज्ञात करना, प्रिज्म के पार्श्व क्षेत्र को खोजने के लिए बस इस मान को 4 से गुणा करें।

_{फ्लोरिडा} = बी · एच

_{फ्लोरिडा} = 5·10

_{फ्लोरिडा} = 50 सेमी²

_{क्या आप वहां मौजूद हैं} = 4ए_{फ्लोरिडा}

_{क्या आप वहां मौजूद हैं} = 4·50

_{क्या आप वहां मौजूद हैं} = 200 सेमी²

क्षेत्रसंपूर्णकाचश्मे é:

ए = ए_ख + ए_{क्या आप वहां मौजूद हैं}

ए = 25 + 200

एच = 225 सेमी²

लुइज़ पाउलो सिल्वा द्वारा
गणित में डिग्री

क्या आप इस पाठ को किसी स्कूल या शैक्षणिक कार्य में संदर्भित करना चाहेंगे? देखो:

सिल्वा, लुइज़ पाउलो मोरेरा। "ज्यामितीय ठोस का क्षेत्रफल"; ब्राजील स्कूल. में उपलब्ध: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm. 27 जून, 2021 को एक्सेस किया गया।