संभाव्यता गणित का एक क्षेत्र है जो अध्ययन करता है एक यादृच्छिक प्रयोग में होने वाली घटना की संभावना। प्रायिकता का उपयोग किसी पासे के रोल पर दिए गए परिणाम की ऑड्स या लॉटरी जीतने वाले किसी व्यक्ति के ऑड्स की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
गणितीय संभाव्यता को 0 और 1 के बीच की संख्याओं के समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है:
- जब किसी घटना की प्रायिकता 0 होती है, तो उसका घटित होना असंभव है,
- जब किसी घटना की प्रायिकता 1 होती है तो वह घटना निश्चित रूप से घटित होगी।
संभावना की गणना कैसे करें?
प्रायिकता की गणना करने के लिए, एक यादृच्छिक प्रयोग में अपेक्षित घटना की घटनाओं की संख्या को घटनाओं की कुल संख्या से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि जमीन पर उछाला गया सिक्का "मुकुट" के साथ गिरेगा, तो हमारे पास होगा:
- एक (1) घटना के घटित होने की संभावना हम चाहते हैं: "मुकुट",
- दो (2) कुल घटना संभावनाएं: "सिर" और "पूंछ"।
तो हम 1/2 विभाजित करते हैं और हमारे पास 1/2 या 50% की "पूंछ" संभावना है।
संभाव्यता सूत्र
संभाव्यता की गणना कैसे करें, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, सूत्र देखें:
कहा पे:
- P(E) = किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता AND
- n (E) = घटना E के घटित होने की कुल संख्या
- n (S) = प्रतिदर्श समष्टि S. की घटनाओं की संख्या
गणना के व्यावहारिक उदाहरण देखने से पहले, संभाव्यता की कुछ मूलभूत अवधारणाओं को समझें:
यादृच्छिक प्रयोग
प्रायिकता की गणना केवल यादृच्छिक प्रयोगों के मामलों में की जा सकती है, अर्थात उन स्थितियों में जहां परिणाम का निर्धारण या भविष्यवाणी करना संभव नहीं है।.
एक यादृच्छिक प्रयोग का एक उदाहरण पासे को रोल करना है। यदि डाई हुक नहीं है (उदाहरण के लिए, किसी एक चेहरे पर अधिक भार के साथ), तो यह निर्धारित करना संभव नहीं है कि कौन सा चेहरा ऊपर की ओर गिरेगा, अर्थात रोल का परिणाम संयोग पर निर्भर करता है।
एक और उदाहरण एक ही आकार और वजन की नीली और पीली गेंदों से भरा बैग होगा। यादृच्छिक रूप से गेंदों में से एक को चुनने से, उन्हें देखे बिना, यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि नीली या पीली गेंद निकलेगी या नहीं, इसलिए यह प्रयोग यादृच्छिक है।
नमूना जगह
नमूना स्थान है एक यादृच्छिक प्रयोग में सभी संभावित परिणामों का समुच्चय. उदाहरण के लिए, जब हम पासे को रोल करते हैं, तो सैंपल स्पेस (S) को पासे के सभी मानों द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात: (S) = {1,2,3,4,5,6}।
नमूना स्थान, तब, पासे के सभी चेहरों का सेट है, क्योंकि 6 चेहरे एक रोल के बाद होने की 6 संभावनाएं हैं। इस प्रकार, हालांकि परिणाम की भविष्यवाणी करना संभव नहीं है, हम जानते हैं कि यह नमूना स्थान के भीतर होगा।
प्रतिस्पर्धा
घटना (ई) नमूना स्थान (एस) का एक सबसेट है। पासे को घुमाते समय, संख्या 5, E = {5}, या एक सम संख्या, E = {2,4,6} की घटना को एक घटना के रूप में निर्धारित किया जा सकता है।
घटनाओं के प्रकार
सही घटना: एक निश्चित घटना वह है जो स्वयं नमूना स्थान (ई = एस) का प्रतिनिधित्व करती है और यह निश्चित रूप से होगी। एक मानक पासे (1 से 6 तक की संख्या के साथ) के रोल के बाद, एक प्राकृतिक संख्या को रोल करने की संभावना 100% है, क्योंकि 1 से 6 तक की सभी संख्याएं प्राकृतिक हैं।
असंभव घटना: एक असंभव घटना वह होती है जिसके घटित होने की 0% संभावना होती है। एक मानक पासे को रोल करते समय, संख्या 8 के लुढ़कने की संभावना शून्य होती है, क्योंकि पासे का अंक 8 के साथ कोई चेहरा नहीं होता है।
पूरक कार्यक्रम: पूरक घटनाएँ वे हैं जिनमें घटनाओं के बीच प्रतिच्छेदन को एक खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है और संघ को पूरे नमूना सेट द्वारा दर्शाया जाता है।
a. के घटित होने की प्रायिकता सम संख्या और एक से विषम संख्या जब एक पासा फेंका जाता है, तो वे पूरक घटनाएँ होती हैं, क्योंकि इन दो घटनाओं की घटनाओं का योग 6 संभावनाओं द्वारा दर्शाया जाता है: E = {1,2,3,4,5,6}।
इस मामले में कोई चौराहा नहीं होगा, क्योंकि एक संख्या एक ही समय में सम और विषम नहीं हो सकती है।
संभाव्यता अभ्यास
आइए एक उदाहरण के साथ संभाव्यता सूत्र का उपयोग करके अभ्यास करें:
- पासे को घुमाते समय, निम्नलिखित घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता क्या है:
ए) विषम संख्या:
एक विषम संख्या प्राप्त करने की तीन संभावनाएँ हैं: E = {1,3,5}। इस मामले में, n (ई) = ३। यदि संभावनाओं की कुल संख्या n (S) = 6 है, तो हमारे पास है:
पी (ई) = 3/6
पी (ई) = 1/2 या 50%
उस स्थिति में, एक विषम संख्या के निकलने की 50% संभावना है।
बी) संख्या 5:
संख्या 5 प्राप्त करने की केवल एक संभावना है, इसलिए n (E) = 1। संभावनाओं की कुल संख्या n (S) = 6 को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है:
पी (ई) = 1/6
पी (ई) = ०.१६६ या १६.६%
इस मामले में, 16% संभावना है कि एक पासे को रोल करते समय 5 नंबर लुढ़क जाएगा।
ध्यान दें, जैसा कि हमने पाठ की शुरुआत में कहा था, संभावना हमेशा 0 और 1 के बीच की संख्या होगी, जहां 1 किसी घटना के घटित होने की 100% संभावना का प्रतिनिधित्व करता है और 0, घटना के घटित होने की असंभवता को दर्शाता है प्रतिस्पर्धा।
यह भी देखें अंकगणित, प्रतिशत तथा ज्यामिति.
