. के बारे में अध्ययन संख्यात्मक सेट गणित के मुख्य क्षेत्रों में से एक है, क्योंकि वे क्षेत्र के सैद्धांतिक विकास के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं और कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। संख्यात्मक सेट में अध्ययन शामिल है:
- प्राकृतिक संख्या;
- पूर्णांक;
- परिमेय संख्या;
- अपरिमेय संख्या;
- वास्तविक संख्याये; तथा
- जटिल आंकड़े।
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प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
पहली सभ्यताओं का विकास अपने साथ कृषि और वाणिज्य में सुधार लाया और फलस्वरूप, मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए संख्याओं का उपयोग करना. पहला सेट स्वाभाविक रूप से आया, इसलिए इसका नाम आया। प्राकृतिक नामित सेट का उपयोग मात्राओं को दर्शाने के लिए किया जाता है, इसे द्वारा दर्शाया जाता है प्रतीक और अनुक्रम रूप में लिखा गया है। देखो:
हे संख्याओं का सेट प्राकृतिक naहै é के संचालन के लिए अनंत और बंद इसके अलावा और गुणनअर्थात्, जब भी हम दो प्राकृत संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते हैं, तब भी उत्तर स्वाभाविक होता है। हालांकि, घटाव ऑपरेशन के लिए और विभाजन, सेट बंद नहीं है। देखो:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
ध्यान दें कि संख्या –1 तथा 0,5 वे प्राकृतिक समुच्चय से संबंधित नहीं हैं, और यह संख्याओं के नए सेटों के निर्माण और अध्ययन का औचित्य है।
साथ ही, प्राकृतिक समुच्चय के चिन्ह में तारक (*) लगाकर हमें सूची से शून्य संख्या को हटाना होगा, देखें:
पूर्ण संख्या सेट
पूरा नंबर सेट के साथ आया के संचालन को अंजाम देने की जरूरत है घटाव कोई पाबन्दी नहीं। जैसा कि हमने देखा, जब बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाया जाता है, तो उत्तर प्राकृतों के समूह से संबंधित नहीं होता है।
पूर्णांकों के समुच्चय को एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम द्वारा भी दर्शाया जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है प्रतीक.
जैसा कि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में चिन्ह में तारक लगाने से तत्व शून्य को समुच्चय से इस प्रकार हटा दिया जाता है:
किसी संख्या के साथ आने वाला (-) चिन्ह दर्शाता है कि वह सममित है, इसलिए संख्या 4 का सममित अंक -4 है। यह भी ध्यान दें कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में समाहित होता है, अर्थात प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
ℕ ⸦ ℤ
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परिमेय संख्याओं का समुच्चय
हे परिमेय संख्याओं का समुच्चय é प्रतीक ℚ द्वारा दर्शाया गया है और एक संख्यात्मक अनुक्रम द्वारा नहीं दर्शाया गया है. यह समुच्चय उन सभी संख्याओं से बना है जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व इस प्रकार करते हैं:
हम जानते हैं कि प्रत्येक पूर्ण संख्या को a द्वारा दर्शाया जा सकता है अंशअर्थात् पूर्ण संख्याओं का समुच्चय परिमेय संख्याओं के समुच्चय में समाहित होता है, इसलिए, पूर्णांकों का समुच्चय परिमेय का एक उपसमुच्चय है.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
वे संख्याएँ जिनका अनंत निरूपण होता है, जैसे आवधिक दशमांश, भिन्न के रूप में भी प्रतिनिधित्व करते हैं, इस प्रकार वे तर्कसंगत भी हैं।
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अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय
जैसा कि हमने देखा, एक संख्या परिमेय होती है यदि इसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। यह भी कहा गया है कि अनंत और आवर्त संख्याएँ परिमेय होती हैं, हालाँकि, कुछ संख्याएँ ऐसी भी होती हैं जो भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता और इसलिए, जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय से संबंधित नहीं हैं।
इन गैर परिमेय संख्याओं को कहा जाता है तर्कहीन और मुख्य विशेषताओं के रूप में है दशमलव भाग और गैर-आवृत्ति की अनंतताअर्थात् दशमलव भाग में किसी भी संख्या की पुनरावृत्ति नहीं होती है। के कुछ उदाहरण देखें examples अपरिमेय संख्या.
- उदाहरण 1
संख्याओं के वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
- उदाहरण 2
विशेष कारणों से आने वाले स्थिरांक जैसे गोल्ड नंबर, यूलर नंबर या पाई।
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
हे वास्तविक संख्याओं का समुच्चय प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है और द्वारा बनता है एकताअपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ परिमेय संख्याओं के समुच्चय का। याद रखें कि परिमेय समुच्चय प्राकृतिक और पूर्णांक समुच्चयों का मिलन है।
जब हम वास्तविक संख्याओं को एक रेखा पर व्यवस्थित करते हैं, तो हम पाते हैं कि संख्या शून्य रेखा का मूल है, शून्य के दाईं ओर धनात्मक संख्याएँ होंगी, और बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ होंगी।
चूँकि यह अक्ष वास्तविक है, हम कह सकते हैं कि दो संख्याओं के बीच अनंत संख्याएँ होती हैं और यह भी कि यह अक्ष दोनों में अनंत है सकारात्मक दिशा में कब नकारात्मक दिशा.
सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय
हे जटिल संख्या सेट यह है पिछले और यह उसी कारण से उत्पन्न हुआ जैसे पूर्णांकों का समुच्चय, अर्थात यह एक ऐसा संक्रिया है जिसका विकास केवल वास्तविकों के समुच्चय से संभव नहीं है।
निम्नलिखित समीकरण को हल करते हुए देखें कि इसका कोई हल नहीं है, केवल वास्तविक संख्याओं को जानकर।
एक्स2 + 1 = 0
एक्स2 = –1
ध्यान दें कि हमें एक संख्या ज्ञात करनी है कि जब तरक्कीघहे चुकता, परिणाम एक ऋणात्मक संख्या में होता है। हम जानते हैं कि कोई भी वर्ग संख्या हमेशा धनात्मक होती हैइसलिए, इस गणना का कोई वास्तविक समाधान नहीं है।
इस प्रकार सम्मिश्र संख्याएँ बनाई गईं, जिनमें हमारे पास a काल्पनिक संख्या द्वारा चिह्नित मैं, जिसका निम्न मान है:
तो, एहसास है कि समीकरण जिसका पहले कोई समाधान नहीं था अब उसके पास है। चेक आउट:
अधिक पढ़ें: सम्मिश्र संख्याओं वाले गुण
वास्तविक अंतराल
कुछ मामलों में, हम प्रत्येक वास्तविक अक्ष का उपयोग नहीं करेंगे, अर्थात हम इसके कुछ हिस्सों का उपयोग करेंगे जिन्हें कहा जाएगा ब्रेक. ये अंतराल हैं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय। आगे, हम इन उपसमुच्चयों के लिए कुछ संकेतन स्थापित करेंगे।
बंद सीमा - चरम सीमाओं को शामिल किए बिना
एक अंतराल बंद हो जाता है जब यह इसके दो चरम हैं, यानी, न्यूनतम और अधिकतम, और, इस मामले में, चरम सीमा दायरे में नहीं आते। हम इसे एक खुली गेंद का उपयोग करके निरूपित करेंगे। देखो:
लाल रंग में वे संख्याएँ हैं जो इस श्रेणी से संबंधित हैं, अर्थात वे संख्याएँ हैं a से बड़ा और b से छोटा। बीजगणितीय रूप से हम इस तरह के अंतराल को इस प्रकार लिखते हैं:
< एक्स
जहाँ संख्या x वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो इस श्रेणी में हैं। हम इसे प्रतीकात्मक रूप से भी प्रस्तुत कर सकते हैं। देखो:
]द; बी[ या (द; बी)
बंद सीमा - चरम सीमा सहित
अब इसे दर्शाने के लिए बंद गेंदों का उपयोग करते हैं चरम सीमा के हैं.
इसलिए हम वास्तविक संख्याएँ एकत्र कर रहे हैं जो उनके सहित a और b के बीच हैं। बीजगणितीय रूप से हम इस तरह के अंतराल को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:
≤ एक्सख
प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
[द; बी]
बंद सीमा - चरम सीमाओं में से एक सहित
अभी भी बंद अंतराल के साथ काम कर रहे हैं, अब हमारे पास मामला है जहां चरम सीमाओं में से केवल एक शामिल है. इसलिए, मार्बल्स में से एक बंद हो जाएगा, यह दर्शाता है कि संख्या सीमा से संबंधित है, और दूसरा नहीं है, यह दर्शाता है कि संख्या उस सीमा से संबंधित नहीं है।
बीजगणितीय रूप से हम इस श्रेणी को इस प्रकार दर्शाते हैं:
≤ एक्स
प्रतीकात्मक रूप से हमारे पास है:
[द; बी[ या [द; बी)
खुली सीमा - कोई अंत शामिल नहीं है
एक रेंज तब खुलती है जब अधिकतम या न्यूनतम तत्व नहीं है. अब हम एक ओपन रेंज केस देखेंगे जिसमें केवल अधिकतम तत्व है, जो कि रेंज में शामिल नहीं है।
देखें कि श्रेणी में शामिल हैं वास्तविक संख्या से कमबी, और यह भी ध्यान दें कि संख्या b श्रेणी से संबंधित नहीं है (खुली गेंद), इसलिए, बीजगणितीय रूप से, हम अंतराल का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:
एक्स
प्रतीकात्मक रूप से हम इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:
] – ∞; बी[ या (– ∞; बी)
खुली सीमा - चरम सहित
एक खुली सीमा का एक और उदाहरण वह मामला है जहां चरम शामिल है। यहां हमारे पास एक श्रेणी है जिसमें न्यूनतम तत्व दिखाई देता है, देखें:
ध्यान दें कि सभी वास्तविक संख्याएँ संख्या a से बड़ी या उसके बराबर हैं, इसलिए हम इस श्रेणी को बीजगणितीय रूप से लिख सकते हैं:
एक्ससेवा मेरे
प्रतीकात्मक रूप से हमारे पास है:
[द; +∞[ या [द; +∞)
खुली जगह
खुली सीमा का एक अन्य मामला किसके द्वारा बनता है वास्तविक रेखा पर नियत संख्याओं से बड़ी और छोटी संख्याएँ। देखो:
ध्यान दें कि इस श्रेणी से संबंधित वास्तविक संख्याएँ संख्या a से कम या उसके बराबर होती हैं, या वे संख्याएँ जो संख्या b से बड़ी होती हैं, इसलिए हमें यह करना होगा:
एक्स सेवा मेरे याएक्स > बी
प्रतीकात्मक रूप से हमारे पास है:
] – ∞; ए] यू] बी; + ∞[
या
(– ∞; ए] यू (बी; + ∞)
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
