अधिकतम और न्यूनतम अंक क्या हैं?

आप के अंक ज्यादा से ज्यादा यह से है न्यूनतम केवल के लिए परिभाषित और चर्चा की जाती है हाई स्कूल समारोह, क्योंकि वे किसी भी वक्र पर मौजूद हो सकते हैं।

इससे पहले, आइए याद रखें: a कब्जे का दूसराडिग्री वह है जिसे f (x) = ax. के रूप में लिखा जा सकता है² + बीएक्स + सी। हे ग्राफिक इस प्रकार के फ़ंक्शन का है दृष्टांत, आपके पास कौन हो सकता है अवतलता नीचे या ऊपर का सामना करना। साथ ही, इस आकृति में, एक बिंदु है जिसे. कहा जाता है शिखर, अक्षर V द्वारा दर्शाया गया है, जो कि हो सकता है स्कोरमेंज्यादा से ज्यादा या स्कोरमेंन्यूनतम समारोह का।

अधिकतम बिंदु

सब कब्जे का दूसराडिग्री के साथ <0 है स्कोरमेंज्यादा से ज्यादा. दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु केवल में ही संभव है कार्यों नीचे की ओर झुकाव के साथ। जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है, अधिकतम बिंदु V दूसरी डिग्री के कार्यों का उच्चतम बिंदु है, जिसमें <0 है।

ध्यान दें कि इसका ग्राफिक कब्जे तक पहुँचने तक बढ़ रहा है स्कोरमेंज्यादा से ज्यादा, उसके बाद, ग्राफ अवरोही हो जाता है। इस उदाहरण फ़ंक्शन का उच्चतम बिंदु इसका अधिकतम बिंदु है। यह भी ध्यान दें कि y निर्देशांक V = (3, 6) से बड़ा कोई बिंदु नहीं है और अधिकतम बिंदु को निर्दिष्ट x मान मध्य बिंदु पर है

खंड, जिसके सिरे हैं समारोह की जड़ें (जब वे वास्तविक संख्याएँ हों)।

यह भी याद रखें कि स्कोरमेंज्यादा से ज्यादा हमेशा के साथ मेल खाता है शिखर नीचे की ओर झुके हुए फ़ंक्शन के साथ।

न्यूनतम बिंदु

सब कब्जे का दूसराडिग्री गुणांक के साथ एक > 0 है स्कोरमेंन्यूनतम. दूसरे शब्दों में, न्यूनतम बिंदु केवल उन कार्यों में ही संभव है, जिनमें ऊपर की ओर समतलता है। निम्नलिखित आकृति में ध्यान दें कि V परवलय का सबसे निचला बिंदु है:

इसका ग्राफ कब्जे तक पहुँचने तक घट रहा है स्कोरमेंन्यूनतम, उसके बाद, बढ़ता रहता है। इसके अलावा, न्यूनतम बिंदु V इस फ़ंक्शन का सबसे निचला बिंदु है, अर्थात, -1 से कम y निर्देशांक वाला कोई अन्य बिंदु नहीं है। यह भी ध्यान दें कि न्यूनतम बिंदु पर y से संबंधित x का मान भी खंड के मध्य बिंदु पर होता है, जिसके समापन बिंदु फ़ंक्शन के मूल होते हैं (जब वे वास्तविक संख्याएं होती हैं)।

यह भी याद रखें कि स्कोरमेंन्यूनतम हमेशा के साथ मेल खाता है शिखर समारोह के ऊपर की ओर का सामना करना पड़ रहा है।

फंक्शन गठन कानून में अधिकतम या न्यूनतम बिंदु

यह जानते हुए कि के गठन का नियम कब्जेकादूसराडिग्री f (x) = ax. का रूप है² + बीएक्स + सी, के निर्देशांक खोजने के लिए गुणांक ए, बी और सी के बीच संबंधों का उपयोग करना संभव है शिखर समारोह का। शीर्ष के निर्देशांक ठीक इसके बिंदु के निर्देशांक होंगे ज्यादा से ज्यादा या का न्यूनतम.

यह जानते हुए कि x coordinate का समन्वय करता है शिखर का कब्जे xv द्वारा निरूपित किया जाता है, हमारे पास होगा:

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एक्स_वी = - बी
2

यह जानते हुए कि y का समन्वय करता है शिखर का कब्जे yv द्वारा दर्शाया गया है, हमारे पास होगा:

आप_वी = – Δ
4

इसलिए, शीर्ष V के निर्देशांक होंगे: V = (x .)_वीआप_वी).

अगर शिखर का बिंदु होगा ज्यादा से ज्यादा या का न्यूनतम, केवल दृष्टांत की अंतराल का विश्लेषण करें:

अगर एक <0, परवलय है शिखर बिंदु.

यदि a > 0, परवलय है न्यूनतम बिंदु.

ध्यान दें कि जब फलन के दो वास्तविक मूल हों, x_वी खंड के मध्य बिंदु पर होगा, जिसके सिरे. के मूल हैं कब्जे. तो x. खोजने की एक और तकनीक_वी और तुम_वी फ़ंक्शन की जड़ों को ढूंढना है, उन्हें जोड़ने वाली सीधी रेखा के मध्य बिंदु को ढूंढना है, और उस मान को y खोजने के लिए फ़ंक्शन पर लागू करना है_वी सम्बंधित।

उदाहरण:

निश्चित करो शिखर फलन का f(x) = x² + 2x - 3 और कहें कि क्या यह. है स्कोरमेंज्यादा से ज्यादा या का न्यूनतम.

पहला समाधान: के निर्देशांक की गणना करें शिखर दिए गए सूत्रों द्वारा, यह जानते हुए कि a = 1, b = 2 और c = - ३।

एक्स_वी = - बी
2

एक्स_वी = – 2
2·1

एक्स_वी = – 1

आप_वी = – Δ
4

आप_वी = – (2² – 4·1·[– 3])
4·1

आप_वी = – (4 + 12)
4

आप_वी = – 16
4

आप_वी = – 4

तो, V = (-1, - 4) और फलन में है स्कोरमेंन्यूनतम, क्योंकि a = 1 > 0.

दूसरा समाधान: की जड़ों का पता लगाएं कब्जे का दूसराडिग्री, कनेक्टिंग सेगमेंट का मध्य बिंदु निर्धारित करें, जो x. होगा_वी, और y. खोजने के लिए उस मान को फ़ंक्शन पर लागू करें_वी.

फ़ंक्शन की जड़ें, द्वारा दी गई हैं वर्ग पूर्णता विधि, वो हैं:

एफ (एक्स) = एक्स² + 2x - 3

0 = एक्स² + 2x - 3

4 = एक्स² + 2x - 3 + 4

एक्स² + 2x + 1 = 4

(एक्स + 1)² = 4

दोनों सदस्यों का वर्गमूल करने पर हमारे पास होगा:

[(एक्स + १)²] = √4
एक्स + 1 = ± 2
एक्स = ± 2 - 1

एक्स' = 2 - 1 = 1

एक्स" = - 2 - 1 = - 3

एक खंड जो -3 से 1 तक जाता है, उसका मध्य बिंदु x. होता है_वी = – 1. अधिक विवरण के लिए, समाधान के बाद की छवि देखें। एक्स लागू करना_वी समारोह में, हमारे पास होगा:

एफ (एक्स) = एक्स² + 2x - 3

आप_वी = (– 1)² + 2(– 1) – 3

आप_वी = 1 – 2 – 3

आप_वी = 1 – 5

आप_वी = – 4

ये परिणाम वही मान हैं जो पहले समाधान में पाए जाते हैं: वी = (-1, - 4)। इसके अलावा, समारोह है स्कोरमेंन्यूनतम, क्योंकि a = 1 > 0.

नीचे दी गई छवि इसका ग्राफ दिखाती है कब्जे इसकी जड़ों के साथ और इसके न्यूनतम बिंदु V के साथ।

यह ध्यान देने योग्य है कि भास्कर के सूत्र का उपयोग इस सामग्री में फ़ंक्शन की जड़ों को खोजने के लिए भी किया जा सकता है।

लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक