बीजगणित यह गणित की वह शाखा है जो अंकगणित का सामान्यीकरण करती है। इसका मतलब है कि अंकगणित से अवधारणाएं और संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग .) आदि) का परीक्षण किया जाएगा और कुछ सेटों से संबंधित सभी नंबरों के लिए उनकी प्रभावशीलता साबित होगी संख्यात्मक
क्या "जोड़" ऑपरेशन, उदाहरण के लिए, वास्तव में प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित सभी संख्याओं पर काम करता है? या क्या कोई बहुत बड़ी प्राकृतिक संख्या है, अनंत के करीब, जो एक साथ जोड़े जाने पर दूसरों से अलग व्यवहार करती है? इस प्रश्न का उत्तर द्वारा दिया गया है बीजगणित: सबसे पहले, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को परिभाषित किया जाता है और संक्रिया को जोड़ा जाता है; तब यह सिद्ध होता है कि योग संक्रिया किसी भी प्राकृत संख्या के लिए कार्य करती है।
अमेरिका बीजगणित अध्ययन, अक्षरों का उपयोग संख्याओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। ये अक्षर या तो अज्ञात संख्या या संख्यात्मक सेट से संबंधित किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x एक सम संख्या है, तो x 2, 4, 6, 8, 10,... इस प्रकार, x सम संख्याओं के समुच्चय से संबंधित कोई भी संख्या है और यह स्पष्ट है कि x किस प्रकार की संख्या है: 2 का गुणज।
गणितीय संचालन के गुण
यह जानते हुए कि सेट से संबंधित किसी भी संख्या को एक अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, संख्याओं के सेट से संबंधित संख्याओं x, y और z पर विचार करें। असली और संचालन इसके अलावा तथा गुणा क्रमशः "+" और "·" द्वारा दर्शाया गया है। तो, निम्नलिखित गुण x, y और z के लिए मान्य हैं:
1 - सहयोगीता
(एक्स + वाई) + जेड = एक्स + (वाई + जेड)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 - कम्यूटेटिविटी
एक्स + वाई = वाई + एक्स
x·y = y·x
3 – एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व (गुणा करने के लिए 1 और जोड़ के लिए 0)
एक्स + 0 = एक्स
एक्स · 1 = एक्स
4 - अस्तित्वविपरीत (या सममित) तत्व का।
एक्स + (-एक्स) = 0
एक्स· 1 = 1
एक्स
5 - वितरण (जोड़ पर गुणन का वितरण गुण भी कहा जाता है)
x·(y + z) = x·y + x·z
इन पांच गुण सभी वास्तविक संख्याओं x, y और z के लिए मान्य हैं, क्योंकि इन अक्षरों का उपयोग किसी वास्तविक संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता था। वे जोड़ और गुणा संचालन के लिए भी मान्य हैं।
बीजीय व्यंजक
गणित में, की अभिव्यक्ति कुछ संख्याओं के साथ किए गए गणितीय कार्यों का एक क्रम है। उदाहरण के लिए: 2 + 3 - 7 एक अंकीय व्यंजक है। जब इस व्यंजक में अज्ञात संख्याएँ (अज्ञात) शामिल हों, तो इसे कहते हैं बीजगणतीय अभिव्यक्ति. एक बीजीय व्यंजक जिसमें केवल एक पद होता है, मोनोमियम कहलाता है। कोई भी बीजगणतीय अभिव्यक्ति जो दो एकपदी के बीच जोड़ या घटा का परिणाम होता है, बहुपद कहलाता है।
बीजीय व्यंजक, मोनोमियल और बहुपद बीजगणित से संबंधित तत्वों के उदाहरण हैं, क्योंकि वे अज्ञात संख्याओं के साथ किए गए कार्यों से बनते हैं। याद रखें कि एक अज्ञात संख्या संख्याओं के समूह में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
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समीकरण
समीकरण वो हैं बीजीय व्यंजक जिनके पास समानता है। इस प्रकार, समीकरण यह गणित की एक सामग्री है जो एक समानता के माध्यम से संख्याओं को अज्ञात से जोड़ती है।
अज्ञात की उपस्थिति वह है जो वर्गीकृत करती है समीकरण बीजगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में। समानता की उपस्थिति एक समीकरण का समाधान खोजने की अनुमति देती है, अर्थात अज्ञात का संख्यात्मक मान।
उदाहरण
१) २x + ४ = ०
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
भूमिकाएँ
फ़ंक्शन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है: कब्जे यह एक नियम है जो समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के एकल अवयव से जोड़ता है।
यह नियम गणितीय रूप से एक बीजीय व्यंजक द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें समानता होती है, लेकिन यह अज्ञात को अज्ञात से संबंधित करता है। यह फ़ंक्शन और समीकरण के बीच का अंतर है: समीकरण एक अज्ञात को एक निश्चित संख्या से संबंधित करता है; पर पेशा, अज्ञात एक संपूर्ण संख्यात्मक सेट का प्रतिनिधित्व करता है। इस कारण से, फ़ंक्शन के भीतर, अज्ञात को चर कहा जाता है, क्योंकि वे उस सेट के भीतर कोई भी मान ले सकते हैं जिसका वे प्रतिनिधित्व करते हैं।
चूंकि इसमें बीजीय व्यंजक शामिल हैं, कब्जे यह बीजगणित से संबंधित एक सामग्री भी है, क्योंकि अक्षर किसी भी संख्या के किसी भी सेट से संबंधित किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।
उदाहरण:
1) फलन y = x. पर विचार करें2, जहां x कोई है वास्तविक संख्या.
इसमें पेशा, चर x वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के भीतर कोई भी मान ले सकता है। चूँकि x द्वारा निरूपित संख्याओं को y द्वारा निरूपित संख्याओं से जोड़ने वाला नियम एक बुनियादी गणितीय संक्रिया है, इसलिए y वास्तविक संख्याओं को भी प्रदर्शित करता है। इसके बारे में एकमात्र विवरण यह है कि y इस फ़ंक्शन में एक नकारात्मक वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, क्योंकि y 2 की घातांक शक्ति का परिणाम है, जिसका हमेशा सकारात्मक परिणाम होगा।
2) फलन y = 2x पर विचार करें, जहाँ x a है प्राकृतिक संख्या।
इसमें कब्जे, चर x प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के भीतर कोई भी मान ले सकता है। ये संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए y द्वारा लिए जा सकने वाले मान 2 के प्राकृतिक संख्या गुणक हैं। इस प्रकार, y सम संख्याओं के समुच्चय का प्रतिनिधि है।
शास्त्रीय बीजगणित से अमूर्त बीजगणित तक
अब तक सूचीबद्ध अवधारणाएं बनाती हैं शास्त्रीय बीजगणित. बीजगणित का यह भाग प्राकृत, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय से अधिक जुड़ा हुआ है और प्रारंभिक और उच्च शिक्षा दोनों में इसका अध्ययन किया जाता है। बीजगणित का दूसरा भाग, जिसे अमूर्त के रूप में जाना जाता है, इन्हीं संरचनाओं का अध्ययन करता है, लेकिन किसी भी सेट के लिए।
इस प्रकार, किसी भी तत्व (संख्या या नहीं) के साथ किसी भी सेट को देखते हुए, एक ऑपरेशन "जोड़", एक ऑपरेशन को परिभाषित करना संभव है "गुणा" और इन कार्यों के गुणों के अस्तित्व को सत्यापित करें या नहीं, साथ ही साथ "समीकरण", "फ़ंक्शन", "बहुपद" की वैधता आदि।
लुइज़ पाउलो मोरेरा. द्वारा
गणित में स्नातक
