डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय

डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय शेष प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है, जो x - a प्रकार के द्विपद द्वारा बहुपद के विभाजन से संबंधित है। शेष प्रमेय कहता है कि एक बहुपद G(x) को द्विपद x - a से विभाजित करने पर P(a) के बराबर शेषफल R होगा
एक्स = ए। फ्रांसीसी गणितज्ञ डी'अलेम्बर्ट ने ऊपर उद्धृत प्रमेय को ध्यान में रखते हुए सिद्ध किया कि एक बहुपद कोई भी Q(x) x - a से विभाज्य होगा, अर्थात शेष भाग शून्य (R = 0) के बराबर होगा यदि P(a) = 0.
इस प्रमेय ने द्विपद (x-a) द्वारा बहुपद के विभाजन की गणना करना आसान बना दिया है, इसलिए यह जानने के लिए कि शेषफल शून्य के बराबर है या भिन्न है, पूरे विभाजन को हल करना आवश्यक नहीं है।
उदाहरण 1
विभाजन के शेष भाग की गणना करें (x .)² + 3x - 10): (x - 3)।
जैसा कि डी'अलेम्बर्ट की प्रमेय कहती है, इस विभाजन का शेष (R) इसके बराबर होगा:
पी(3) = आर
3² + 3 * 3 - 10 = आर
९ + ९ - १० = आर
18 - 10 = आर =
आर = 8
अतः इस भाग का शेष भाग 8 होगा।
उदाहरण 2
जांचें कि क्या x⁵ - 2x⁴ + एक्स³ + x - 2, x - 1 से विभाज्य है।
डी'अलेम्बर्ट के अनुसार, एक बहुपद एक द्विपद से विभाज्य होता है यदि P(a) = 0 है।
पी(1) = (1)⁵ – 2*(1)

⁴ + (1)³ + (1) – 2
पी(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
पी(1) = 3 - 4
पी(1) = - 1
चूँकि P(1) शून्येतर है, बहुपद द्विपद x-1 से विभाज्य नहीं होगा।
उदाहरण 3
m का मान इस प्रकार परिकलित कीजिए कि बहुपद का शेष भाग शेष रह जाए
पी (एक्स) = एक्स⁴ - एमएक्स³ + 5x² + x – 3 बटा x – 2, 6 है.
हमारे पास वह है, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
पी(2) = 2⁴ - एम * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - एम * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8 मी + 20 + 2 - 3 = 6
- 8मी = 6 - 38 + 3
- 8मी = 9 - 38
- 8मी = - 29
मी = 29/8
उदाहरण 4
3x बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करें³ + एक्स² - 6x + 7 बटा 2x + 1.
आर = पी(एक्स) → आर = पी(- 1/2)
आर = 3*(-1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
आर = 3*(-1/8) + 1/4 + 3 + 7
आर = -3/8 + 1/4 + 10 (मिमी)
आर = -3/8 + 2/8 + 80/8
आर = 79/8

मार्क नूह द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम

बहुपदों - गणित - ब्राजील स्कूल

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm