समीकरणों को हल करना एक दैनिक क्रिया है। सहजता से हम अपने दैनिक जीवन में समीकरणों को हल करते हैं और हमें इसका एहसास भी नहीं होता है। निम्नलिखित प्रश्न पूछकर: "मुझे स्कूल जाने के लिए किस समय उठना चाहिए ताकि मैं न जाऊं देर से आना?" और हमें उत्तर मिलता है, हमने वास्तव में एक समीकरण हल किया है जहां अज्ञात है is समय। इन रोज़मर्रा के सवालों ने हमेशा सभी समय के गणितज्ञों को समीकरणों को हल करने और हल करने के तरीकों की तलाश में उकसाया है।
किसी समीकरण को हल करने की सबसे प्रसिद्ध विधियों में से एक है भास्कर का सूत्र। यह एक "नुस्खा" है, एक गणितीय मॉडल जो लगभग तुरंत, 2 डिग्री समीकरण की जड़ें प्रदान करता है। दिलचस्प बात यह है कि समीकरणों को हल करने के लिए उतने सूत्र नहीं हैं जितने आप सोच सकते हैं। तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरण हल करने के लिए बहुत जटिल हैं, और इस प्रकार के समीकरणों के सबसे सरल मामलों के लिए सूत्र हैं।
यह जानना दिलचस्प है कि समीकरण की डिग्री निर्धारित करती है कि इसकी कितनी जड़ें हैं। हम जानते हैं कि 2 डिग्री समीकरण के दो मूल होते हैं। इसलिए, एक ३ डिग्री समीकरण के तीन मूल होंगे और इसी तरह। अब देखते हैं कि कुछ समीकरणों के साथ क्या होता है।
उदाहरण। समीकरणों को हल करें:
ए) एक्स2 + 3x - 4 = 0
हल: द्वितीय डिग्री समीकरण को हल करने के लिए भास्कर के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
हम जानते हैं कि a = 1, b = 3 और c = - 4। इस प्रकार,
चूँकि हम 2 डिग्री समीकरण को हल करते हैं, हमारे पास दो मूल हैं।
बी) एक्स3 – 8 = 0
समाधान: इस मामले में, हमारे पास साधारण संकल्प के साथ अपूर्ण तृतीय डिग्री समीकरण है। 
हल: इस मामले में, हमारे पास अपूर्ण चतुर्थ डिग्री समीकरण है, जिसे द्वि-वर्ग समीकरण भी कहा जाता है। इस प्रकार के समीकरण का हल भी सरल है। देखो:
एक्स समीकरण4 + 3x2 - 4 = 0 को निम्न प्रकार से फिर से लिखा जा सकता है:
(एक्स2)2 + 3x2 – 4 =0
एक्स कर रहा हूँ2 = t और उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
तो2 + 3t - 4 = 0 → जो कि 2 डिग्री समीकरण है।
हम इस समीकरण को भास्कर के सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं।
ये मान समीकरण के मूल नहीं हैं, क्योंकि अज्ञात x है और t नहीं है। लेकिन हमें करना होगा:
एक्स2 = टी
फिर,
एक्स2 = 1 या x2 = – 4
x. का2 = 1, हम पाते हैं कि x = 1 या x = - 1।
x. का2 = - 4, हम पाते हैं कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करती हो।
इसलिए, एस = {- 1, 1}
ध्यान दें कि विकल्प में हमारे पास 2 डिग्री समीकरण था और हमें दो जड़ें मिलीं। विकल्प में ख हम एक ३ डिग्री समीकरण हल करते हैं और केवल एक मूल पाते हैं। और आइटम समीकरण सी, यह चौथी डिग्री का समीकरण था और हमें केवल दो मूल मिले।
जैसा कि पहले कहा गया है, समीकरण की डिग्री निर्धारित करती है कि इसकी कितनी जड़ें हैं:
ग्रेड 2 → दो जड़ें
ग्रेड 3 → तीन जड़ें
ग्रेड 4 → चार जड़ें
लेकिन वैकल्पिक समीकरणों का क्या हुआ ख तथा सी?
यह पता चला है कि डिग्री n 2 के समीकरण में वास्तविक जड़ें और जटिल जड़ें हो सकती हैं। आइटम बी के तीसरे डिग्री समीकरण के मामले में हम केवल एक वास्तविक मूल पाते हैं, अन्य दो मूल जटिल संख्याएं हैं। आइटम सी में समीकरण के लिए भी यही सच है: हमें दो वास्तविक मूल मिलते हैं, अन्य दो जटिल होते हैं।
जटिल मूलों के बारे में, हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।
यदि सम्मिश्र संख्या a + bi, b ≠ 0, समीकरण a. का मूल है0एक्सनहीं न + द1एक्सएन-1+... + दएन-1एक्स + एनहीं न = 0, वास्तविक गुणांकों का, इसलिए इसका संयुग्म, a - bi, भी समीकरण का मूल है।
प्रमेय के परिणाम हैं:
• वास्तविक गुणांकों के साथ द्वितीय डिग्री समीकरण → के केवल वास्तविक मूल या दो संयुग्मित सम्मिश्र मूल हैं।
• वास्तविक गुणांकों के साथ तृतीय डिग्री समीकरण → में केवल वास्तविक मूल या एक वास्तविक मूल और दो संयुग्मित जटिल मूल होते हैं।
• वास्तविक गुणांकों के साथ चौथी डिग्री के समीकरण → में केवल वास्तविक मूल या दो जटिल संयुग्मी मूल और दो वास्तविक या केवल चार जटिल संयुग्म मूल होते हैं, दो बटा दो।
• वास्तविक गुणांकों के साथ ५वीं डिग्री समीकरण → के केवल वास्तविक मूल या दो जटिल मूल हैं संयुग्मित और दूसरी वास्तविक या कम से कम एक वास्तविक जड़ और दूसरी जटिल जड़ें, दो बटा दो संयुग्मित
5 से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए भी यही सच है।
मार्सेलो रिगोनाट्टो द्वारा
सांख्यिकी और गणितीय मॉडलिंग में विशेषज्ञ
ब्राजील स्कूल टीम
जटिल आंकड़े - गणित - ब्राजील स्कूल
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
