Toi nombres irrationnels longtemps causé une grande inquiétude chez les mathématiciens. Aujourd'hui, déjà bien défini, nous connaissons comme nombre irrationnel celui dont la représentation décimale est toujours une décimale non périodique. La principale caractéristique des irrationnels, et ce qui les rend différents des nombres rationnels, est qu'ils ne peut pas être représenté par un fraction.
L'étude des nombres irrationnels a été approfondie lorsque, lors du calcul de problèmes impliquant le théorème de Pythagore, des racines non exactes ont été trouvées. Le fait de chercher une solution à ces racines inexactes rendait remarquable l'existence de dîmes non exactes. périodique, c'est-à-dire de nombres dont la partie décimale est infinie et n'a pas une bonne suite. défini. Les principaux nombres irrationnels sont les nombres décimaux non périodiques, les racines non exactes et π.
A lire aussi: Racine carrée - cas d'enracinement où l'indice radical est 2
Ensemble de nombres irrationnels
Avant l'étude des nombres irrationnels, les ensembles de nombres ont été étudiés Naturel, entiers et rationnels. En approfondissant l'étude du triangle rectangle, il est devenu clair que il y a des racines qui n'ont pas de solution exacte, en particulier, il a été possible de voir que les solutions racines non exactes sont des nombres connu sous le nom de dîmes non périodiques.
Au milieu de cette inquiétude, de nombreux mathématiciens ont tenté de démontrer, sans succès, que les racines inexactes sont des nombres rationnels et qui peut être représenté comme une fraction, mais ce qui a été réalisé, c'est que ces nombres ne pouvaient pas être représentés dans ce forme. Comme, jusqu'à présent, l'ensemble des nombres rationnels n'incluait pas ces nombres, le besoin s'est fait sentir de créer un nouvel ensemble, connu sous le nom d'ensemble des nombres irrationnels.
Un nombre est irrationnel lorsque sa représentation décimale est une décimale non périodique. |
Que sont les nombres irrationnels ?
Pour être un nombre irrationnel, il doit satisfaire à la définition, c'est-à-dire sa représentation décimale est une décimale non périodique. La principale caractéristique des nombres décimaux non périodiques est qu'ils ne peuvent pas être représentés au moyen d'une fraction, ce qui montre que les nombres irrationnels sont l'opposé des nombres rationnels.
Les principaux chiffres avec cette fonctionnalité sont les racines pas exactes.
Exemples:
a) √2
b) 5
c) √7
d) 13
Lorsque vous recherchez des solutions racine non exactes, c'est-à-dire lorsque vous effectuez la représentation décimale de ces nombres, toujours on trouvera une décimale non périodique, ce qui fait de ces nombres des éléments de l'ensemble des irrationnel.
En plus des racines non exactes, il existe des décimales non périodiques elles-mêmes, par exemple, si nous calculons des racines non exactes, nous trouverons une décimale non périodique.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Les nombres irrationnels sont généralement représentés par des lettres grecques, car il n'est pas possible d'écrire toutes ses décimales.
Le premier est le π (lire: pi), présent dans le calcul de l'aire et du périmètre des cercles. A une valeur égale à 3,1415926535…
En plus de π, un autre nombre très courant est ϕ (lire: fi). Il se retrouve dans des problèmes impliquant le proportion d'or. Il a une valeur égale à 1,618033...
Voir aussi: Que sont les nombres premiers ?
nombre rationnel et irrationnel
Lors de l'analyse des ensembles de nombres, il est important de faire la différence entre les nombres rationnels et les nombres irrationnels. L'union de ces deux ensembles forme l'un des ensembles les plus étudiés en mathématiques, l'ensemble des réels, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels c'est la réunion de nombres qui peuvent être représentés comme des fractions (rationnels) avec des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme des fractions (irrationnels).
Dans l'ensemble de nombres rationnels, il y a les entiers, les naturels, les décimales exactes et les décimales périodiques.
Exemples de nombres rationnels:
-60 → entier
2.5 → décimal exact
5.1111111… → décimal périodique
Les nombres irrationnels sont des nombres décimaux non périodiques, il n'y a donc pas de nombre à la fois rationnel et irrationnel.
Exemple de nombres irrationnels:
1 123149… → dîme non périodique
2.769235… → dîme non périodique
Opérations avec des nombres irrationnels
addition et soustraction
LES une addition et le soustraction de deux nombres irrationnels est généralement vient de représenter, sauf si une approximation décimale de ces nombres est utilisée, par exemple :
a) 6 + √5
b) √6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Nous ne pouvons pas additionner ou soustraire les valeurs à cause des radicaux, nous avons donc laissé l'opération indiquée.
Dans les représentations décimales, il n'est pas non plus possible d'effectuer la somme exacte, donc pour additionner deux nombres irrationnels, nous avons besoin d'une approximation rationnelle., et cette représentation est choisie en fonction du besoin d'exactitude de ces données. Plus nous considérons le nombre de décimales, plus nous nous rapprochons de la somme exacte.
Observation:l'ensemble des nombres irrationnels n'est pas fermé à l'addition ou à la soustraction, cela signifie que la somme de deux nombres irrationnels peut donner un nombre qui n'est pas rationnel. Par exemple, si l'on calcule la différence d'un nombre irrationnel par son contraire, il faut :
a) √2 – √2 = 0
b) + (-π) = 0
Nous savons que 0 n'est pas un nombre irrationnel.
Multiplication et division
La multiplication et division des nombres irrationnels peut être fait si la représentation est un radiation, cependant, comme l'addition, dans la représentation décimale, c'est-à-dire la multiplication ou la division de deux décimales, une approximation rationnelle de ce nombre est requise.
a) √7 · √5 = √35
b) 32: 2 = √16 = 4
Notez également que, dans l'exemple b, 4 est un nombre rationnel, ce qui signifie que la multiplication et la division de deux nombres irrationnels ne sont pas fermées, c'est-à-dire qu'elles peuvent avoir un résultat rationnel.
exercices résolus
Question 1 - Passez en revue les numéros suivants :
I) 3.1415926535
II) 4 1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) √36
VI) 12
Ce sont des nombres irrationnels :
A) Uniquement I, IV et V
B) Seulement II, III et VI
C) Seulement II, IV et VI
D) Uniquement I, II, III et VI
E) Seulement III, IV, V et VI
Résolution
Variante B
I → le nombre est décimal exact, rationnel.
II → le nombre est un nombre décimal non périodique et irrationnel.
III → π est irrationnel, et son double, c'est-à-dire 2π, est aussi irrationnel.
IV → le nombre est un nombre décimal périodique et rationnel.
V → racine exacte et rationnelle.
VI → racine non exacte, irrationnelle.
Question 2 - Veuillez juger les affirmations suivantes :
I – L'ensemble des nombres réels est l'union du rationnel et de l'irrationnel ;
II – La somme de deux nombres irrationnels peut être un nombre rationnel ;
III – Les dîmes sont des nombres irrationnels.
En analysant les déclarations, on peut dire que :
A) Seul l'énoncé I est vrai.
B) Seul l'énoncé II est vrai.
C) Seul l'énoncé III est vrai.
D) Seuls les énoncés I et II sont vrais.
E) Toutes les affirmations sont vraies.
Résolution
Variante D
I → Vrai, car la définition de l'ensemble des nombres réels est l'union entre le rationnel et l'irrationnel.
II → Vrai, quand on ajoute un nombre à son opposé, le résultat sera 0, ce qui est rationnel.
III → Les dîmes fausses et non périodiques sont irrationnelles.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
