rapport trigonométrique - aussi appelé relation trigonométrique – est, grosso modo, le résultat de la division des mesures de deux côtés d'un triangle rectangle. Les rapports trigonométriques sont capables de relier les côtés aux angles d'un triangle rectangle. Sans eux, il ne serait possible de construire que ce que nous appelons relations métriques.
Avant de définir les rapports trigonométriques, il est important de connaître la nomenclature des côtés d'un triangle rectangle.
triangle rectangle
Dans tout triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit - qui est le côté le plus long du triangle - est appelé hypoténuse. Les deux autres portent le nom pécaris.
De plus, en fixant l'angle aigu de tout triangle rectangle, le côté opposé à cet angle est appelé jambe opposée, et le côté qui touche cet angle s'appelle lejambe adjacente.
Rapports trigonométriques
Les rapports trigonométriques ont été créés à partir de l'observation suivante: Deux triangles rectangles qui ont un deuxième angle congru sont similaires. Cela signifie qu'entre ces deux triangles, les mesures latérales sont proportionnelles et les mesures angulaires sont congruentes. De cette façon, en prenant un angle aigu à partir d'un triangle rectangle, le rapport entre ses côtés aura le même résultat.
Cette information est importante pour la trigonométrie car un rapport trigonométrique lié à un angle donné aura une valeur fixe pour n'importe quel triangle, quelle que soit la taille de ses côtés, car comme ils sont proportionnels, le rapport des côtés correspondants sera égal.
Cela dit, nous définirons le rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente:
Senθ = Cathetus en face
Hypoténuse
Cosθ = Cathetus adjacent à θ
Hypoténuse
Tgθ = Cathetus en face
Cathetus adjacent à θ
Une valeur pour chaque angle
Le sinus d'un angle est invariant quelle que soit la mesure du côté du triangle à partir duquel cet angle a été pris. Le triangle suivant a été construit dans l'ordinateur, de sorte qu'il avait un angle droit et un angle de 30º, représenté par la lettre grecque. Les mesures obtenues étaient :
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En calculant le sinus de 30°, on aura :
Sen30 = Cathetus en face = 2,31 = 0,5
Hypoténuse 4,62
La valeur 0,5 est le sinus de 30° pour tout triangle. C'est parce que tous les triangles qui ont deux angles congrus sont proportionnels. Dans cet exemple, 0,5 est juste le rapport trouvé dans les triangles rectangles qui ont un angle de 30°.
table trigonométrique
Les calculs ci-dessus peuvent être effectués pour tous les angles "entiers" - un angle peut également être fractionné. Les fractions « décimales » sont appelées minutes et les « centésimaux » sont appelées secondes. En utilisant les rapports sinus, cosinus et tangente, il serait possible de construire le tableau de valeurs suivant :
Applications pratiques
Par des raisons trigonométriques, il est possible de relier les angles d'un triangle rectangle avec les valeurs de ses côtés. Par conséquent, il est possible de trouver la mesure d'un côté d'un triangle rectangle en n'ayant que les mesures d'un de ses angles aigus et d'un de ses côtés. Regardez l'exemple:
Calculer la valeur du côté de longueur le dans le triangle suivant :
Dans ce triangle, nous voulons trouver la valeur du côté opposé à l'angle de 60° à partir de la valeur de son côté adjacent. regarder le rapports trigonométriques défini ci-dessus, on observe que la seule qui relie le côté opposé au côté adjacent est la tangente. Par conséquent, nous utiliserons cette raison pour trouver la valeur de « a ». En cherchant la tangente à 60° dans le tableau précédent, on trouve la valeur: 1,732. Regardez les calculs utilisés pour trouver la mesure du côté a :
Tg60 = Cateto en face 60 = le
Cathetus adjacent au 60 2
Tg60 = le
2
1,732 = le
2
a = 1,732·2
a = 3,464
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. « Qu'est-ce que le rapport trigonométrique? »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-razao-trigonometrica.htm. Consulté le 27 juin 2021.
