Une équation est une phrase mathématique qui a une égalité et au moins une inconnue, c'est-à-dire lorsque nous avons l'implication d'un expression algébrique et une égalité. L'étude des équations nécessite des connaissances préalables, telles que l'étude des expressions numériques. Le but d'une équation est trouver la valeur inconnue qui fait de l'égalité une identité, c'est-à-dire une véritable égalité.
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Concepts de base pour l'étude des équations
Une équation est une phrase mathématique qui a un inconnu, au moins, et un égalité, et nous pouvons le classer par son nombre d'inconnues. Voir quelques exemples :
a) 5t – 9 = 16
L'équation a une inconnue, représentée par la lettre t.
b) 5x + 6y = 1
L'équation a deux inconnues, représentées par les lettres X et y.
c) t4 – 8z = x
L'équation a trois inconnues, représentées par les lettres d'accord,z et X.
Quelle que soit l'équation, il faut tenir compte de votre ensemble d'univers,composé de toutes les valeurs possibles que l'on peut attribuer à l'inconnu
, cet ensemble est représenté par la lettre U.Exemple 1
Considérons l'équation x + 1 = 0 et sa solution possible x = –1. Considérons maintenant que l'ensemble de l'univers de l'équation sont les Naturel.
Notez que la solution supposée n'appartient pas à l'ensemble de l'univers, puisque ses éléments sont toutes les valeurs possibles que l'inconnue peut prendre, donc x = –1 n'est pas la solution de l'équation.
Bien entendu, plus le nombre d'inconnues est grand, plus il est difficile de déterminer votre solution. LES solution ou alors la source d'une équation est l'ensemble de toutes les valeurs qui, lorsqu'elles sont affectées à l'inconnue, rendent l'égalité vraie.
Exemple 2
Considérez l'équation avec une inconnue 5x – 9 = 16, vérifiez que x = 5 est la solution ou la racine de l'équation.
Pour qu'il soit possible de dire que x = 5 est la solution de l'équation, nous devons substituer cette valeur dans l'expression, si nous trouvons une vraie égalité, le nombre sera la solution testée.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Voir que l'égalité trouvée est vraie, donc nous avons une identité et le nombre 5 est une solution. On peut donc dire que l'ensemble solution est donné par :
S = {5}
Exemple 3
Considérons l'équation t2 = 4 et vérifiez si t = 2 ou t = –2 sont des solutions de l'équation.
De manière analogue, nous devrions substituer la valeur de t dans l'équation, cependant, notez que nous avons deux valeurs pour l'inconnue et nous devons donc effectuer la vérification en deux étapes.
Étape 1 – Pour t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Étape 2 – Pour t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Voir pour t = 2 et t = – 2 nous trouvons une identité, donc ces deux valeurs sont des solutions à l'équation. Ainsi, on peut dire que l'ensemble solution est :
S = {2, –2}
Types d'équations
On peut aussi classer une équation quant à la position qu'occupent les inconnues. Voir les principaux types :
Équations polynomiales
À équations polynomiales sont caractérisés par un polynôme égal à zéro. Voir quelques exemples :
Le) 6t3+ 5t2–5t = 0
Les nombres6, 5 et –5 sont les coefficients de l'équation.
B) 9X – 9= 0
Les nombres 9 et – 9 sont les coefficients de l'équation.
c) oui2– oui – 1 = 0
Les nombres 1, – 1 et – 1 sont les coefficients de l'équation.
Degrés d'équation
Les équations polynomiales peuvent être classées selon leur degré. Aussi bien que polynômes, le degré d'une équation polynomiale est donné par puissance la plus élevée qui a un coefficient non nul.
D'après les exemples précédents a, b et c, nous avons que les degrés des équations sont :
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Équation polynomiale de troisième degré
b) 9X – 9 = 0 → Équation polynomiale de premier degré
ç) oui2 – y – 1 = 0 → Équation polynomiale de lycée
Lire aussi: équation quadratiqueu: comment calculer, types, exemples
équations rationnelles
Les équations rationnelles se caractérisent par leur inconnues au dénominateur d'un fraction. Voir quelques exemples :
Lire aussi: Que sont les nombres rationnels ?
équations irrationnelles
À équations irrationnelles se caractérisent par leur inconnues dans une racine nième, c'est-à-dire à l'intérieur d'un radical d'indice n. Voir quelques exemples :
équations exponentielles
À équations exponentielles ont le inconnues situées dans l'exposant d'un puissance. Voir quelques exemples :
équation logarithmique
À équations logarithmiques se caractérisent par le fait d'avoir une ou plusieurs inconnues dans une partie du logarithme. Nous verrons que, lors de l'application de la définition du logarithme, l'équation tombe dans certains des cas précédents. Voir quelques exemples :
Voir aussi: Equation du premier degré avec une inconnue
Comment résoudre une équation ?
Pour résoudre une équation, il faut étudier la méthodes utilisées dans chaque type, c'est-à-dire que pour chaque type d'équation, il existe une méthode différente pour déterminer les racines possibles. Cependant, toutes ces méthodes sont dérivé du principe d'équivalence, avec elle, il est possible de résoudre les principaux types d'équations.
Principe d'équivalence
Deuxième principe d'équivalence, on peut librement opérer d'un côté d'une égalité tant qu'on fait de même de l'autre côté de l'égalité. Pour améliorer la compréhension, nous nommerons ces côtés.
Par conséquent, le principe d'équivalence stipule qu'il est possible opérer le premier membre librement tant que le la même opération est effectuée sur le deuxième membre.
Afin de vérifier le principe d'équivalence, considérons l'égalité suivante :
5 = 5
Allons-y maintenant ajouter des deux côtés le chiffre 7, et notez que l'égalité sera toujours vraie :
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Allons-y maintenant soustraire 10 des deux côtés de l'égalité, notez à nouveau que l'égalité sera toujours vraie :
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
voir que nous pouvons multiplier ou alors partager et élever à un puissance ou même extraire un la source, tant que cela est fait sur le premier et le deuxième membre, l'égalité sera toujours vraie.
Pour résoudre une équation, nous devons utiliser ce principe avec la connaissance des opérations mentionnées. Afin de faciliter l'élaboration des équations, omettons l'opération faite sur le premier membre, cela équivaut à dire que nous passons le numéro à l'autre membre, en échangeant le signe contre le contraire.
L'idée pour déterminer la solution d'une équation est toujours isoler l'inconnu en utilisant le principe d'équivalence, Voir:
Exemple 4
En utilisant le principe d'équivalence, déterminez l'ensemble solution de l'équation 2x – 4 = 8 sachant que l'ensemble univers est donné par: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Pour résoudre une équation polynomiale du premier degré, il faut laisser l'inconnue dans le premier membre isolée. Pour cela, nous prendrons le nombre –4 du premier membre, en ajoutant 4 des deux côtés, puisque –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Notez que l'exécution de ce processus équivaut à simplement passer le nombre 4 avec le signe opposé. Donc, pour isoler l'inconnu x, passons le nombre 2 au deuxième membre, puisqu'il multiplie x. (Rappelez-vous: l'opération inverse de la multiplication est la division). Ce serait la même chose que de diviser les deux côtés par 2.
L'ensemble solution est donc donné par :
S = {6}
Exemple 5
Résoudre l'équation 2x+5 = 128 sachant que l'ensemble de l'univers est donné par U = ℝ.
Pour résoudre l'équation exponentielle, utilisons d'abord ce qui suit propriété de potentialisation:
lem + n = lem · unenon
Nous utiliserons également le fait que 22 = 4 et 25 = 32.
2x+5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Notez qu'il est possible de diviser les deux côtés par 32, c'est-à-dire de passer le nombre 32 au deuxième membre en divisant.
Nous devons donc :
2X = 4
2X = 22
La seule valeur de x qui satisfait l'égalité est le nombre 2, donc x = 2 et l'ensemble de solutions est donné par :
S = {2}
exercices résolus
question 1 – Considérons l'univers d'ensemble U = et déterminez la solution de l'équation irrationnelle suivante :
Résolution
Pour résoudre cette équation, il faut se préoccuper d'éliminer la racine du premier membre. Notez que, pour cela, nous devons élever le premier membre au même index que la racine, c'est-à-dire au cube. Par le principe d'équivalence, il faut aussi élever le second membre d'égalité.
Notons qu'il faut maintenant résoudre une équation polynomiale du second degré. Passons le nombre 11 au second membre (soustrait 11 des deux côtés de l'égalité), afin d'isoler l'inconnu x.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Maintenant, pour déterminer la valeur de x, voyez qu'il y a deux valeurs qui satisfont à l'égalité, x’ = 4 ou x’’ = –4, une fois que:
42 = 16
et
(–4)2 = 16
Cependant, notez dans l'énoncé de la question que l'ensemble d'univers donné est l'ensemble des nombres naturels et que le nombre -4 ne lui appartient pas, ainsi, l'ensemble de solutions est donné par :
S = {4}
question 2 – Considérons l'équation polynomiale x2 + 1 = 0 sachant que l'ensemble de l'univers est donné par U = ℝ.
Résolution
Pour le principe d'équivalence, soustrayez 1 des deux membres.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Notez que l'égalité n'a pas de solution, puisque l'ensemble de l'univers est constitué des nombres réels, c'est-à-dire tous les les valeurs que l'inconnu peut supposer sont réelles, et il n'y a pas de nombre réel qui, une fois au carré, est négatif.
12 = 1
et
(–1)2 = 1
Par conséquent, l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, et nous pouvons donc dire que l'ensemble de solutions est vide.
S = {}
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques