O principe fondamental du comptage est le concept principal enseigné en analyse combinatoire. C'est à partir de là que les autres concepts de ce domaine ont été développés et les formules factorielles, de combinaison, d'arrangement, permutation. La compréhension de ce principe est essentielle pour comprendre les situations impliquant le comptage.
Ce principe stipule que si j'ai besoin de prendre plus d'une décision et que chacune d'entre elles peut être prise de manière x, y, z, pour pour savoir de combien de manières ces décisions peuvent être prises simultanément, il suffit de calculer le produit de ces possibilités.
Lire aussi: Analyse combinatoire - qu'est-ce que c'est, concepts importants, exercices
Quel est le principe fondamental du comptage ?
Le principe fondamental du comptage est un technique pour calculer le nombre de façons dont les décisions peuvent être combinées. Si une décision peut être prise à partir de
non manières et une autre décision peut être prise de m manières, le nombre de manières dont ces décisions peuvent être prises simultanément est calculé par le produit de n · m.Analyser toutes les combinaisons possibles sans utiliser le principe fondamental du comptage peut être assez laborieux, ce qui rend la formule très efficace.
Exemple
Dans un restaurant, le fameux plat est proposé. Tous les plats ont du riz, et le client peut choisir une combinaison de 3 options de viande (bœuf, poulet et végétarien), 2 types de haricots (bouillon ou tropeiro) et 2 types de boissons (jus ou un soda). De combien de manières différentes un client peut-il passer une commande ?
A noter qu'il y a 12 choix, mais il était possible d'atteindre ce nombre en effectuant le simple multiplication des possibilités grâce au principe fondamental du comptage, de sorte que le nombre de combinaisons possibles de plats pourrait être calculé par :
2 · 3 · 2 = 12.
A noter que lorsque mon intérêt est de ne connaître que le total des possibilités, effectuer la multiplication est beaucoup plus rapide que de construire n'importe quel schéma à analyser, ce qui peut être assez laborieux s'il y a de plus en plus de possibilités.
Quand utiliser le principe fondamental du comptage ?
Il existe plusieurs applications du principe fondamental du comptage. Elle peut être appliquée, par exemple, dans diverses décisions de la L'informatique. Un exemple sont les mots de passe qui nécessitent l'utilisation d'au moins un symbole, ce qui augmente le nombre de combinaisons possibles et sécurise le système.
Une autre application est l'étude de chances.Pour les calculer, il faut connaître le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables. Le comptage de ce nombre de cas possibles et favorables peut se faire grâce au principe fondamental du comptage. Ce principe génère également les formules de permutation, combinaison et agencement.
Voir aussi: Principe de comptage additif — union d'un ou plusieurs ensembles
exercices résolus
1) (Enem) Un directeur d'école a invité les 280 élèves de troisième année à participer à un jeu. Supposons qu'il y ait 5 objets et 6 personnages dans une maison de 9 pièces; l'un des personnages cache l'un des objets dans l'une des pièces de la maison. L'objectif du jeu est de deviner quel objet était caché par quel personnage et dans quelle pièce de la maison l'objet était caché.
Tous les élèves ont décidé de participer. A chaque fois un élève est tiré au sort et donne sa réponse. Les réponses doivent toujours être différentes des précédentes, et le même élève ne peut être tiré plus d'une fois. Si la réponse de l'élève est correcte, il est déclaré vainqueur et le jeu est terminé. Le directeur sait que certains élèves obtiendront la bonne réponse car il y a :
a) 10 élèves de plus que des réponses différentes possibles.
b) 20 élèves de plus que des réponses différentes possibles.
c) 119 élèves de plus que des réponses différentes possibles.
d) 260 élèves de plus que des réponses différentes possibles.
e) 270 élèves de plus que des réponses différentes possibles.
Résolution
Par le principe fondamental du comptage, le nombre de réponses possibles sera égal au produit des quantités de personnages, d'objets et de pièces.
5 · 6 · 9 = 270.
Comme le nombre d'étudiants est de 280, alors la différence entre le nombre d'étudiants et le nombre de possibilités est de 10.
Réponse: variante A.
2) (Enem) On estime qu'il existe, à Acre, 209 espèces de mammifères, réparties selon le tableau ci-dessous.
Nous souhaitons réaliser une étude comparative entre trois espèces de mammifères – une du groupe des Cétacés, une autre du groupe des Primates et la troisième du groupe des Rongeurs. Le nombre d'ensembles distincts pouvant être constitués avec ces espèces pour cette étude est égal à :
a) 1320
b) 2090
c) 5840
d) 6600
e) 7245.
Résolution:
On sait qu'il y a 2 cétacés, 20 primates et 33 rongeurs. Ainsi, par le principe fondamental du comptage, le nombre d'ensembles distincts possibles sera :
2 ·20 ·33 = 1320
Réponse: variante A.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm
