Tous les nombres existants ont été créés en fonction des besoins humains au moment de la création, comme c'est le cas des nombres naturels, qui ont été créés pour compter et contrôler les "stocks", et les nombres irrationnels, qui ont été établis pour résoudre les problèmes liés à les racines. Ce sont précisément les problèmes liés aux racines qui ont déclenché la connaissance de la nombres complexes.
L'équation quadratique x2 + 4x + 5 = 0 n'a pas de racines réelles. Cela signifie que, dans l'ensemble des nombres réels, il est impossible de trouver des valeurs pour x qui égalent le premier terme de cette équation au second. Nous observons ce phénomène dès le début de la formule de Bhaskara :
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Une fois qu'une valeur négative est trouvée pour Δ, il devient impossible de continuer avec la formule de Bhaskara, car elle nécessite que √Δ (racine de delta) soit calculée. Maintenant, nous savons que √– 4 ne peut pas être calculé car il n'y a pas de nombre réel qui, multiplié par lui-même, donnerait – 4.
Des nombres complexes ont été créés pour répondre à ces besoins. Dès sa création, le √– 4 peut être développé comme suit :
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Un (– 1) est compris comme un nouveau type de nombre. L'ensemble de tous ces nombres est connu sous le nom d'ensemble des nombres complexes, et chaque représentant de ce nouvel ensemble est défini comme suit: Soit A un nombre complexe, alors,
A = le + BJ'étais leet B sont des nombres réels et i = √(– 1)
Dans cette définition, le Il est connu comme partie réelle de A et B Il est connu comme partie imaginaire d'A.
Propriétés des nombres complexes
Les nombres réels représentent, dans leur intégralité et géométriquement, une ligne. Les nombres complexes, à leur tour, représentent un plan entier. Le plan cartésien utilisé pour représenter les nombres complexes est connu sous le nom de plan d'Argand-Gauss.
Tout nombre complexe peut être représenté sur le plan d'Argand-Gauss comme un point de coordonnées (a, b). La distance du point représentant un nombre complexe au point (0,0) est appelée module du nombre complexe., qui est défini :
Soit A = a + bi un nombre complexe, son module est |A| = un2 + b2
Les nombres complexes ont également un élément inverse, appelé conjugué. Il est défini comme :
Soit A = a + bi un nombre complexe,
Ā = a – bi est le conjugué de ce nombre.
Propriété 1: Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est égal à la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire du nombre complexe. Mathématiquement:
AĀ = un2 + b2
Exemple: Quel est le produit de A = 2 + 5i par son conjugué ?
Il suffit de faire le calcul: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Si nous choisissions d'écrire le conjugué de A et, après cela, d'effectuer la multiplication AĀ, nous aurions :
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
C'est-à-dire qu'en utilisant la propriété proposée, il est possible d'éviter un long calcul ainsi que des erreurs lors de ces calculs.
Propriété 2: Si un nombre complexe A est égal à son conjugué, alors A est un nombre réel.
Soit A = a + bi. Si A =, alors :
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Par conséquent, b = 0
Par conséquent, il est obligatoire que chaque nombre complexe égal à son conjugué soit également un nombre réel.
Propriété 3: Le conjugué de la somme de deux nombres complexes est égal à la somme des conjugués de ces nombres., C'est:
_____ _ _
A + B = A + B
Exemple: Quel est le conjugué de la somme de 7 + 9i et 2 + 4i ?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Vous pouvez d'abord ajouter, puis calculer le conjugué du résultat, ou faire d'abord les conjugués, puis ajouter les résultats plus tard.
Propriété 4: Le conjugué du produit entre deux nombres complexes est égal au produit de leurs conjugués, c'est à dire:
__ _ _
AB = A·B
Exemple: Quel est le produit des conjugués de A = 7i + 10 et B = 4 + 3i ?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
Selon le besoin de l'exercice, il est possible de multiplier d'abord et de calculer le conjugué ensuite, ou d'afficher les conjugués avant d'effectuer la multiplication.
Propriété 5: Le produit d'un nombre complexe A et de son conjugué est égal au carré du module de A, c'est à dire:
AĀ = |A|2
Exemple: A = 2 + 6i, alors AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Notez qu'il n'est pas nécessaire de trouver le conjugué et d'effectuer une multiplication par la propriété distributive de la multiplication sur l'addition (appelée petite pomme de douche).
Propriété 6: Le module d'un nombre complexe est égal au module de son conjugué. Autrement dit:
|A| = |Ā|
Exemple: Trouvez le module du conjugué du nombre complexe A = 3 + 4i.
Notez qu'il n'est pas nécessaire de trouver le conjugué, car les modules sont les mêmes.
|A| = (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Si |Ā| était calculé, le seul changement serait un B carré négatif, ce qui a un résultat positif. Ainsi, le résultat serait toujours la racine de 25.
Propriété 7: Si A et B sont des nombres complexes, alors le produit du module de A et B est égal au module du produit de A et B., c'est à dire:
|AB| = |A||B|
Exemple: Soit A = 6 + 8i et B = 4 + 3i, combien fait |AB| ?
Notez qu'il n'est pas nécessaire de multiplier les nombres complexes avant de calculer le module. Il est possible de calculer le module de chaque nombre complexe séparément, puis de multiplier simplement les résultats.
|A| = (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10,5 = 50
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
