Polyèdres (du latin poly - beaucoup - et hèdre - visage) sont Les figurestridimensionnel formé par l'union de polygones réguliers, dans lesquels les angles polyédriques sont tous congrus. L'union de ces polygones forme des éléments qui composent le polyèdre, ce sont: sommets, bords et visages. Cependant, toutes les figures en trois dimensions ne sont pas des polyèdres, un exemple en sont les figures qui ont des faces incurvées appelées corps ronds.
Il existe une formule mathématique qui relie les éléments d'un polyèdre appelé La relation d'Euler. De plus, les polyèdres sont divisés en deux groupes: les polyèdres convexe et le pas convexe. Certains polyèdres méritent une attention particulière, ils sont appelés Les polyèdres de Platon: tétraèdre, hexaèdre, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.
A lire aussi: Différences entre les figures plates et spatiales
polyèdres convexes
Un polyèdre sera convexe lorsqu'il est formé par polygones convexe, pour que les conditions suivantes soient acceptées :
- deux des polygones Jamais ils sont coplanaires, c'est-à-dire qu'ils n'appartiennent pas au même plan.
- Chaque côté d'un de ces polygones n'appartient qu'à deux polygones.
- Le plan qui contient l'un quelconque de ces polygones laisse les autres polygones dans le même demi-espace.
A lire aussi :Somme des angles internes et externes d'un polygone convexe
Éléments d'un polyèdre convexe
Considérons ce polyèdre convexe :
Toi quadrilatères dans la figure sont appelés visages du polyèdre.
Toi pentagones sont les faces et la base du polyèdre, qui est nommé polyèdre à base pentagonale.
Les segments qui forment chacune des faces sont appelés bords du polyèdre.
Les points de rencontre des arêtes sont appelés sommets.
Le segment de droite JC sera appelé diagonale du polyèdre, noté :
JC est une des diagonales, on comprend diagonale du polyèdre comme étant le segment de droite qui joint deux sommets n'appartenant pas à la même face.
On a aussi l'angle polyédrique, formé entre les arêtes, noté :
Un angle polyédrique est appelé un trièdre Lorsque Trois les arêtes proviennent d'un sommet. De même, on l'appelle tétraédrique, Cas quatre les arêtes proviennent d'un sommet, et ainsi de suite.
A partir de maintenant, nous allons établir quelques notations, ce sont :
Savoir plus: Planification de solides géométriques
Propriétés d'un polyèdre convexe
Propriété 1
La somme des arêtes de toutes les faces est égale au double du nombre d'arêtes du polyèdre.
Exemple
Un polyèdre a 6 faces carrées. Déterminons le nombre d'arêtes.
Selon la propriété, il suffit de multiplier le nombre d'arêtes d'une face par le nombre de faces, ce qui équivaut à deux fois le nombre d'arêtes. Ainsi:
Propriété 2
La somme des sommets de toutes les faces est égale à la somme des arêtes de toutes les faces, qui est égale à deux fois le nombre d'arêtes.
Exemple
Un polyèdre avec 5 angles tétraédriques et 4 angles hexaédriques. Déterminons le nombre d'arêtes.
De manière analogue à l'exemple précédent, la deuxième propriété dit que la somme des arêtes de toutes les faces est égale à deux fois le nombre d'arêtes. Le nombre d'arêtes est donné par le produit de 5 par 4 et 4 par 6, car ce sont 5 angles tétraédriques et 4 angles hexaédriques. Ainsi:
Polyèdres concaves (non convexes)
Un polyèdre est non convexe, ou concave, lorsque l'on prend deux points sur des faces distinctes et la droite r contenant ces points n'est pas tout contenu dans le polyèdre.
Notez que la droite (en bleu) n'est pas complète dans le polyèdre, donc le polyèdre (en rose) est concave ou non convexe.
polyèdres réguliers
On dit qu'un polyèdre est régulier quand tes visages sont des polygones réguliers égaux entre eux et avec les angles polyédriques tout de même.
Voir quelques exemples :
Notez que tous vos visages sont des polygones réguliers. Ses faces sont formées de carrés et les bords sont tous congrus, c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure.
liségalement: Que sont les polygones réguliers et convexes ?
La relation d'Euler
Aussi connu sous le nom le théorème d'Euler, le résultat a été prouvé par Leonhard Euler (1707 - 1783) et garantit qu'en tout polyèdre convexe fermé la relation suivante est valide :
Les polyèdres de Platon
Tout polyèdre qui satisfait aux conditions suivantes est appelé polyèdre de Platon :
La relation d'Euler est valide
Toutes les faces ont le même nombre d'arêtes
Tous les angles polyédriques ont le même nombre d'arêtes
Il est prouvé qu'il n'y a que cinq polyèdres réguliers et convexes, ou polyèdres de Platon, ce sont :
tétraèdre régulier
le tétraèdre a 4 faces triangulaires congruent et 4 angles trièdres conforme.
hexaèdre régulier
l'hexaèdre a 6 faces carrées congruent et 8 angles trièdres conforme.
octaèdre régulier
l'octaèdre a 8 faces triangulaires congruent et 6 angles tétraédriques conforme.
dodécaèdre régulier
le dodécaèdre a 12 faces pentagonales congruent et 20 anglestrièdre conforme.
icosaèdre régulier
L'icosaèdre a 20 visages triangulaires congruent et 12 angles pentaédriques conforme.
exercices résolus
1) (Enem) Un bijou a été taillé sous la forme d'un polyèdre convexe à 32 faces, dont 20 sont des hexaèdres et le reste sont pentagonaux. Ce bijou sera un cadeau pour une dame qui fête son anniversaire, complétant un âge dont le nombre est le nombre de sommets de ce polyèdre. Cette dame termine :
a) 90 ans
b) 72 ans
c) 60 ans
d) 56 ans
e) 52 ans
Solution:
Donne propriété 1 des polyèdres convexes on sait que :
Maintenant comment on connait le nombre d'arêtes C'est le nombre de visages, on peut utiliser la relation d'Euler.
Comme l'âge que vous complétez est égal au nombre de sommets, il s'agit donc de 60 ans. Alternative c.
2) (PUC-SP) Combien d'arêtes possède un polyèdre convexe à faces triangulaires dont le nombre de sommets est les trois cinquièmes du nombre de faces ?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Solution:
A partir des propriétés d'un polyèdre convexe et de l'énoncé de l'exercice, nous avons :
En substituant ces valeurs dans la relation d'Euler, on a ce qui suit :
En organisant l'équation précédente et en résolvant l'équation en F, il s'ensuit que :
En substituant la valeur du nombre de faces trouvées dans l'équation des arêtes, on aura :
Alternative b
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
