O Diagramme de Venn, également connu sous le nom de diagramme de Venn-Euler, est un façon de représenter graphiquement un ensemble, pour cela nous utilisons une ligne fermée qui n'a pas d'auto-intersection et nous représentons les éléments de l'ensemble à l'intérieur de cette ligne. L'idée du schéma est de faciliter la compréhension dans le opérations d'ensemble de base, tels que: relation d'inclusion et d'appartenance, union et intersection, différence et complémentarité.
Lire aussi: Opérations entre entiers: connaître les propriétés
Représentations du diagramme de Venn
Comme montré, le diagramme de Venn se compose d'une ligne fermée (non entrelacée) sur laquelle on « place » les éléments de l'ensemble en question, afin que l'on puisse représenter un ou plusieurs ensembles simultanément. Voir les exemples :
• Ensemble unique
Nous pouvons vous représenter en utilisant une seule ligne fermée, par exemple, représentons l'ensemble A = {1, 3, 5, 7, 9} :
• Entre deux sets
Nous devons faire deux graphes comme celui pour la représentation de l'ensemble unique. Cependant, à partir des opérations avec des ensembles, nous savons que: étant donné deux ensembles, ils peuvent ou non se croiser. Si les deux ensembles ne se coupent pas, ils sont nommés
ensembles disjoints.Exemple 1
Tracer, en utilisant le diagramme de Venn, les ensembles A = {a, b, c, d, e, f} et B = {d, e f, g, h, i}.
Notez que l'intersection est la partie du diagramme qui appartient aux deux ensembles, tout comme dans la définition.
A B = {d, e, f}
Exemple 2
Tracez les ensembles C = {a, b, c, d} et D = {e, f, g, h}.
Notez que l'intersection de ces ensembles est vide, car elle n'a aucun élément qui appartient simultanément aux deux, c'est-à-dire :
C D = { }
• Entre trois sets
L'idée derrière la représentation utilisant le diagramme de Venn pour trois ensembles est similaire à la représentation entre deux ensembles. En ce sens, les ensembles peuvent être disjoints un à un, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas d'intersection; ou ils peuvent être deux à deux disjoints, c'est-à-dire que deux seulement d'entre eux se coupent; ou tous se croisent.
Exemple
Représentation, à l'aide du diagramme de Venn, des ensembles A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} et C = {d, e, c, h}.
Voir aussi: Notations d'ensemble importantes
relation d'adhésion
La relation d'appartenance permet de dire si un élément appartient ou non à un certain ensemble. Pour cela, nous utilisons les symboles :
Considérons l'ensemble A = {a, b, c, d}. En l'analysant, on se rend compte que g, par exemple, ne lui appartient pas, donc dans le diagramme de Venn, on a :
Relation d'inclusion
La relation d'inclusion permet de dire si un ensemble est contenu dans un autre ensemble ou non. Lorsqu'un ensemble est contenu dans un autre, on dit que c'est un sous-ensemble. Pour cela, nous utilisons les symboles :
Un exemple en est la relation entre l'ensemble des nombres naturels et ensemble de nombres entiers. Nous savons que l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers, c'est-à-dire l'ensemble des naturels est contenu dans l'ensemble des entiers.
Opérations entre les ensembles
Les opérations de base entre deux ou plusieurs ensembles sont: unité, intersection et différence entre deux ensembles.
• Syndicat
L'union entre deux ensembles se fait en joignant les éléments contenus dans chaque ensemble, autrement dit: tous les éléments des deux ensembles sont considérés. Voir:
Considérons les ensembles A = {1, 2, 3, 4} et B = {3, 4, 5, 6, 7}. L'union entre eux est donnée par :
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Dans le diagramme de Venn, nous avons ombré la partie union, c'est-à-dire les deux ensembles, vérifiez :
• Intersection
L'intersection est un nouvel ensemble numérique formé d'éléments qui appartiennent, simultanément, à d'autres ensembles. D'une manière générale, l'intersection entre les ensembles dans le diagramme de Venn est donnée par la partie commune aux graphes concernés. Voir:
En considérant à nouveau les ensembles A = {1, 2, 3, 4} et B = {3, 4, 5, 6, 7}, nous avons que les éléments qui appartiennent à l'ensemble A et à l'ensemble B, simultanément, sont :
A B = {3,4}
• Différence entre deux ensembles
Considérons deux ensembles C et D, la différence entre eux (C – D) sera un nouvel ensemble formé d'éléments appartenant à C et n'appartenant pas à D. En général, nous pouvons représenter cette différence, en utilisant le diagramme de Venn, comme suit :
exercices résolus
question 1 – (Ufal) Dans la figure suivante, les ensembles non disjoints A, B et C ont été représentés. La région colorée représente l'ensemble :
a) C - (A B)
b) (A B) – C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A B C
Solution
Alternative b.
En rappelant les opérations avec les ensembles, on sait que l'intersection entre deux ensembles dans le diagramme de Venn est donnée par la partie qui leur est commune. En considérant les ensembles A, B et C et en coloriant l'intersection d'ensembles A B, on a :
Titre: Solution question1 - partie 1
A noter que si on retire les éléments de l'ensemble C, on obtient la partie colorée demandée par l'exercice, c'est-à-dire qu'il faut d'abord mettre en évidence l'intersection puis retirer les éléments de C.
(A B) – C
question 2 – (Uerj) Des enfants d'une école ont participé à une campagne de vaccination contre la paralysie infantile et la rougeole. Après la campagne, il a été constaté que 80 % des enfants avaient reçu le vaccin contre la paralysie, 90 % le vaccin contre la rougeole et 5 % aucun des deux.
Déterminez le pourcentage d'enfants de cette école qui ont reçu les deux vaccins.
Solution
Comme le pourcentage d'enfants ayant reçu les deux vaccins est inconnu, appelons-le d'abord x. Rappelez-vous qu'il ne faut pas opérer avec le symbole %, mais écrire les pourcentages d'exercice sous leur forme décimale ou fractionnaire.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Pour connaître le nombre total d'enfants qui n'ont pris que le vaccin contre la paralysie, nous avons soustrait le pourcentage vérifié (80%) du pourcentage de ceux qui ont pris les deux (x), et la même chose devrait être faite pour les enfants qui ont seulement pris le vaccin contre le rougeole. Ainsi:
En rejoignant tous les enfants, le pourcentage sera de 100%, donc :
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
– x = 1 – 1,75
(–1) · – x = – 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75 %
Par conséquent, 75 % des enfants de l'école avaient les deux vaccins.
Par L.do Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
