Lorsque nous étudions les polyèdres, nous rencontrons le Les solides de Platon comme cas particulier. Pour être un solide de Platon, le polyèdre doit satisfaire à trois conditions :
être convexe;
toutes les faces ont le même nombre d'arêtes ;
tous les sommets sont des extrémités du même nombre d'arêtes.
Plusieurs philosophes ont cherché à comprendre l'origine de l'Univers, et Platon l'a vu dans géométrie spatiale l'explication de cette origine. Les solides de Platon sont :
tétraèdre;
hexaèdre;
octaèdre;
dodécaèdre;
icosaèdre.
Tous sont considérés comme des polygones réguliers, car leur les bords et leurs faces sont tous congrus. Les solides de Platon respectent le La relation d'Euler, qui répertorie le nombre de sommets, de faces et d'arêtes par la formule V + F = A + 2.
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polyèdres réguliers
La recherche de polyèdres réguliers est récurrente, car ils sont plus faciles à travailler. Un polyèdre est classé comme régulier s'il
a toutes les faces formées par le même polygone conforme. Lorsque cela se produit, le angles et les bords sont également congrus.Les solides de Platon sont des cas particuliers de polyèdres réguliers. Le cube, par exemple, qui est un solide de Platon, a toutes ses faces formées par des carrés congrus. Des cinq solides de Platon, trois sont formées de faces triangulaires avec des triangles congrus, une est formée de faces carrées et l'autre est formée de faces pentagonales.
Quels sont les solides de Platon ?
Platon était un philosophe et mathématicien grec. Il a fait de grandes contributions aux mathématiques et, en essayant de comprendre l'Univers, solides associés à des éléments de la nature.
Pour être un solide platonique, le polyèdre doit être régulier et convexe. Il n'y a que cinq solides qui satisfont à cette définition. Ce sont: le tétraèdre, le cube ou hexaèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre et le dodécaèdre.
La relation faite entre l'élément de la nature et le solide était :
tétraèdre - Feu
hexaèdre - Terre
octaèdre - air
icosaèdre - L'eau
dodécaèdre – Cosmo ou Univers
Pour être un solide de Platon, O polyèdre doit aussi être convexe, toutes les faces doivent avoir le même nombre d'arêtes et tous les sommets doivent être des extrémités du même nombre d'arêtes.
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tétraèdre régulier
Le tétraèdre régulier est un polyèdre qui a 4 visages, ce qui justifie son nom (tétra = quatre). tous tes visages sont formé de triangles. Il a la forme d'un pyramide de base triangulaire et est connu comme une pyramide de base régulière, puisque toutes ses faces sont congruentes. Il a un total de 4 faces (au format de triangle équilatéral), 4 sommets et 6 arêtes.
Si vous souhaitez construire votre propre tétraèdre régulier, il vous suffit de télécharger et d'imprimer le PDF ici.
Cube ou hexaèdre régulier
l'hexaèdre régulier a 6 visages, ce qui justifie son nom (hex = six). tes visages sont tous carré. Il est également connu sous le nom de cube et possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Si vous souhaitez créer votre propre cube, il vous suffit de télécharger et d'imprimer le PDF ici.
Octaèdre
Comme les précédents, le nom est lié au nombre de faces, d'où l'octaèdre a 8 visages. Ces visages ont forme de triangle équilatéral. L'octaèdre a 8 faces, 12 arêtes et 6 sommets.
Si vous souhaitez construire votre propre octaèdre, il vous suffit de télécharger et d'imprimer le PDF ici.
icosaèdre
L'icosaèdre a un total de 20 visages. Leurs faces ont la forme de triangles équilatéraux, tout comme l'octaèdre. Il a un total de 20 faces, 30 arêtes et 12 sommets.
Si vous souhaitez construire votre propre icosaèdre, il vous suffit de télécharger et d'imprimer le PDF ici.
Dodécaèdre
Le dodécaèdre est le dernier des solides de Platon. Il a un total de 12 faces et il est considéré comme le plus harmonique parmi les cinq solides platoniciens. Leurs visages ont la forme de pentagones. Il comporte 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets.
Si vous voulez construire votre propre dodécaèdre, il suffit de télécharger et d'imprimer le PDF ici.
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la formule d'Euler
Les polyèdres eulériens sont des polyèdres convexes. Euler a développé une formule qui relie le nombre de faces (F), le nombre de sommets (V) et le nombre d'arêtes (A) dans un polyèdre convexe. Tous les solides de Platon satisfont à la relation d'Euler.
V + F = A + 2 |
Analyser la formule, il est alors possible de calculer le nombre de sommets à partir du nombre de faces et d'arêtes, ou le nombre de faces à partir du nombre de sommets et d'arêtes, bref, connaissant deux de ses éléments, il est toujours possible de trouver le troisième.
Exemple:
Sachant qu'un polyèdre a 8 sommets et 12 arêtes et qu'il est régulier, combien de faces a-t-il ?
On sait que V + F = A+2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
exercices résolus
Question 1 - (Enem 2016) Les solides de Platon sont des polyèdres convexes dont les faces sont toutes congruentes à un seul polygone régulier, tous les sommets ont le même nombre d'arêtes incidentes et chaque arête n'est partagée que par deux. visages. Ils sont importants, par exemple, dans la classification des formes des cristaux minéraux et dans le développement de divers objets. Comme tous les polyèdres convexes, les solides de Platon respectent la relation d'Euler V - A + F = 2, où V, A et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces du polyèdre.
Dans un cristal dont la forme est celle d'un polyèdre de Platon à faces triangulaires, quelle est la relation entre le nombre de sommets et le nombre de faces ?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Résolution
Variante C. Comme les faces sont triangulaires, on sait que pour chaque face il y a 3 arêtes. Cependant, pour relier le nombre d'arêtes au nombre de faces, il est important de se rappeler que chaque arête est contenue sur deux faces, car la rencontre de deux faces forme une arête, on peut donc relier arête à face dans ce cas par:
Ayant la relation d'Euler comme V - A + F = 2 et substituant A, nous devons :
Question 2 - A partir des alternatives ci-dessous, jugez lequel n'est pas un solide de Platon.
A) Cube
B) Tétraèdre régulier
C) Icosaèdre
D) Dodécaèdre
E) Cône
Résolution:
Alternative E. Parmi les alternatives, la seule qui ne correspond pas à un solide de Platon est la cône.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
