O plus grand diviseur commun (MDC) entre deux nombres ou plus est simplement la plus grande valeur numérique qui divise tous ces nombres. Les diviseurs d'un nombre sont toutes ces valeurs numériques qui divisent ce nombre et qui ne laissent aucun reste dans la division. Regardons les diviseurs de nombres 20 et 50.
D (20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20
D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50
Les nombres 20 et 50 ont le 2 C'est le 10 comme diviseurs communs. Mais le plus grand diviseur commun entre 20 et 50 est le 10. Nous représentons :
MDC (20, 50) = 10
Une autre façon de trouver le MDC entre deux ou plusieurs nombres consiste à effectuer des divisions successives. Il faut effectuer la division du plus grand par le plus petit nombre pour ensuite faire une nouvelle division, étant que le nombre trouvé dans le reste sera le nouveau diviseur et le nombre qui était dans le diviseur sera maintenant le dividende. Nous répétons ce processus jusqu'à ce que nous trouvions zéro reste. Prenons un exemple: si nous voulons trouver le plus grand commun diviseur entre 20 et 50, nous devrions faire «
50 divisé par 20», qui est à l'origine du repos 10. On fait ensuite la division de 20 pour 10 et nous avons une division exacte. Alors comme notre dernier diviseur c'était le 10, on dit alors que 10 est le plus grand commun diviseur entre 20 et 50. Voyons ce processus dans le schéma ci-dessous :
Par divisions successives, nous trouvons que le MDC (20, 50) = 10
Regardons maintenant le MDC (3, 4). Nous avons d'abord fait la division de 4 par 3. En faisant cette division, nous trouvons reste 1. Divisons maintenant le 3 pour 1, qui est une division exacte, car elle laisse zéro reste. On dit alors que MDC (3, 4) = 1. Chaque fois que le plus grand diviseur commun entre deux nombres est 1, on dit que ces nombres sontles cousins l'un l'autre.
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Regardons maintenant le calcul pour déterminer le plus grand commun diviseur entre 12 et 20 :
Par divisions successives, nous trouvons que le plus grand diviseur commun entre 12 et 20 est le nombre 4
Pour déterminer le MDC (12, 20), nous divisons les 20 par 12, obtenant repos 08. Alors on fait 12 divisé par 8 et on obtient reste 4. Enfin, nous faisons 8 divisé par 4 et nous avons trouvé reste 0, qui nous assure que MDC (12, 20) = 4.
Pour trouver le plus grand commun diviseur entre trois nombres ou plus, nous devons répéter le même processus entre deux des nombres, puis diviser le troisième nombre par la valeur trouvée. Pensons au calcul du plus grand commun diviseur entre les nombres 4, 6 et 10. Tout d'abord, nous effectuons le calcul du plus grand diviseur commun entre 4 et 6. On vérifie facilement que MDC (4, 6) = 2. Nous faisons donc le troisième nombre divisé par ce 2 nouvellement trouvé. Lors de la division 10 pour 2, nous avons trouvé zéro reste. Nous disons donc que le MDC (4, 6, 10) est 2.
En utilisant le processus de divisions successives, il est possible de trouver le MDC entre trois nombres ou plus
Cette règle peut également être appliquée pour résoudre problèmes qui impliquent l'idée du plus grand diviseur commun.
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou académique? Voir:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. « Diviseur commun maximum (MDC) »; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-divisor-comum.htm. Consulté le 28 juin 2021.
