Division de polynômes a différentes méthodes de résolution. Nous présenterons trois méthodes pour ce découpage: la méthode Descartes (coefficients à déterminer), la méthode des clés et le dispositif pratique de Briot-Ruffini.
Lire la suite: Équation polynomiale: forme et comment résoudre
division polynomiale
Lors de la division d'un polynôme P (x) par un polynôme non nul D (x), où le degré de P est supérieur à D (P > ré), signifie qu'il faut trouver un polynôme Q (x) et R (x), de sorte que :
Notez que ce processus équivaut à écrire :
P (x) → dividende
D (x) → diviseur
Q (x) → quotient
R (x) → reste
A partir des propriétés du potentialisation, nous devons Le degré du quotient est égal à la différence entre les degrés du dividende et du diviseur.
Q = P - D
Aussi, lorsque le reste de la division entre P(x) et D(x) est égal à zéro, on dit que P(x) est divisible par D(x).
Règles de division polynomiale
Méthode des coefficients à déterminer — méthode de rejette
Pour effectuer la division entre les polynômes P (x) et D (x), avec un degré de P supérieur au degré de D, nous suivons les étapes :
Étape 1 - Déterminer le degré du polynôme quotient Q (x) ;
Étape 2 - Prendre le plus de degré possible pour le reste de la division R(X) (Rappel: R(x) = 0 ou R < ré);
Étape 3 - Écrivez les polynômes Q et R avec des coefficients littéraux, de sorte que P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
Exemple
Sachant que P (x) = 4x3 - X2 + 2 et que D (x) = x2 + 1, déterminer le polynôme quotient et le reste.
Le degré du quotient est 1 car :
Q =P-D
Q =3 – 2
Q = 1
Ainsi dans le polynôme Q(x) = a·x +b, le reste R(x) est un polynôme dont le plus haut degré peut être 1, d'où: R(x) = c ·x +d. En remplaçant les données dans la condition de l'étape 3, on a :
En comparant les coefficients des polynômes, on a :
D'où le polynôme Q (x) = 4x-1 et R (x) = -4x + 3.
méthode cavoir
Elle consiste à effectuer la division entre polynômes suivant le même idée de diviser deux nombres, l'appel algorithme de division. Voir l'exemple suivant.
Considérons à nouveau les polynômes P(x) = 4x3 - X2 + 2 et D (x) = x2 +1, et maintenant nous allons les diviser en utilisant la méthode clé.
Étape 1 - Compléter le polynôme du dividende avec des coefficients nuls, si nécessaire.
P(x) = 4x3 - X2 + 0x + 2
Étape 2 - Divisez le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur puis multipliez le quotient par chaque diviseur. Voir:
Étape 3 - Divisez le reste de l'étape 2 par le quotient et répétez ce processus jusqu'à ce que le degré du reste soit inférieur au degré du quotient.
Par conséquent, Q (x) = 4x-1 et R (x) = -4x +3.
Accédez également à: Addition, soustraction et multiplication de polynômes
L'appareil pratique de BriotRuffini
utilisé pour diviser des polynômes par des binômes.
Considérons les polynômes: P(x) = 4x3 + 3 et D (x) = 2x + 1.
Cette méthode consiste à tracer deux segments, un horizontal et un vertical, et sur ces segments on met le coefficient du dividende et la racine du polynôme diviseur, de plus, le premier est répété coefficient. Voir:
Notez que la plus petite moyenne est la racine du diviseur et que le premier coefficient a été divisé.
Maintenant, il faut multiplier la racine du diviseur par le terme répété et l'ajouter au suivant, voir :
Le dernier nombre trouvé dans le dispositif pratique est le reste, et le reste sont les coefficients du polynôme quotient. Il faut diviser ces nombres par le premier coefficient du diviseur, dans ce cas par 2. Ainsi:
Pour en savoir plus sur cette méthode de division de polynômes, rendez-vous sur: division de polynômes à l'aide du dispositif de Briot-Ruffini.
Exercices résolus
question 1 (UFMG) Le polynôme P (x) = 3x5 - 3x4 -2x3 + mx2 est divisible par D (x) = 3x2 - 2x. La valeur de m est :
Solution
Puisque le polynôme P est divisible par D, alors nous pouvons appliquer l'algorithme de division. Ainsi,
Étant donné que les polynômes sont divisibles, alors le reste est égal à zéro. Bientôt,
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-de-polinomios.htm