Qu'est-ce que la progression arithmétique ?

progression arimétique est une suite numérique dans laquelle la différence entre un terme et son prédécesseur donne toujours la même valeur, appelé raison. Par exemple, considérons la séquence suivante :

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...)

Regardons ce qui arrive à la soustraction d'un terme par ses prédécesseurs :

20 – 18 = 2

18 – 16 = 2

16 – 14 = 2

14 – 12 = 2

.

.

.

4 – 2 = 2

On peut alors dire que le raison(s) de cette suite de nombres est 2. Considérons la séquence numérique suivante :

(Le₁, une₂, une₃, une₄, …, Le_n-1, une_non,...)

Cette séquence numérique peut être classée comme une Progression arithmétique (PA) si pour n'importe quel élément de la séquence est vérifiée :

le_non = le_n-1 + r, étant que r et le raison de l'AP

Une progression arithmétique peut être classée comme :

1. PA ascendant

Un PA est dit ascendant si chaque terme de la séquence est plus gros que le mandat précédent. Cela se produit toujours lorsque le la raison est supérieure à zéro. Exemples:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …) → r = 1

(-20, -10, 0, 10, 20, 30,...) → r = 10

1. PA constante

Un PA est considéré comme constant si chaque terme de la séquence est égal au terme précédent ou suivant. Cela se produit toujours lorsque le le rapport est égal à zéro. Exemples:

(1, 1, 1, 1, 1, 1, …) → r = 0

(30, 30, 30, 30, 30, 30,...) → r = 0

1. PA descendant

On dit qu'un PA est décroissant si chaque terme de la suite est plus petit que le mandat précédent. Cela se produit toujours lorsque le le rapport est inférieur à zéro. Exemples:

(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, …) → r = -1

(15, 10, 5, 0, -5, -10,...) → r = -5

Compte tenu de toute progression arithmétique, connaissant le premier terme de la séquence et la raison de la progression, nous avons pu identifier tout autre élément de cette BP. Notez qu'un terme soustrait de son prédécesseur donne toujours raison. Dans un PA, on peut écrire nonégalités qui suivent ce schéma, qui permet l'assemblage d'un système d'équations. Ajout du (n-1) équations côte à côte, on aura :

le₂ – le₁ = r

le₃ - une₂ = r

le₄ - une₃ = r

le₅ - une₄ = r

.

.

.

le_non - une_n-1 = r
le_non - une₁ = (n - 1).r

le_non = le₁ + (n – 1).r

Cette formule s'appelle Conditions générales d'un PA et à travers elle nous pouvons identifier n'importe quel terme d'une progression arithmétique.

Si nous souhaitons identifier les Somme des termes d'un PA fini, on peut observer que, dans toute progression arithmétique finie, la somme du premier et du dernier terme est égale à la somme du deuxième terme et de l'avant-dernier terme, et ainsi de suite. Voyons un schéma ci-dessous pour illustrer ce fait. s_nonreprésente la somme des termes.

s_non = le₁ + le₂ + le₃ + … + le_n-2 + le_n-1 + le_non,

le₁ + le_non= le₂ + le_n-1 = le₃ + le_n-2

En additionnant chaque paire de termes, on retrouve toujours la même valeur. Nous pouvons conclure que la valeur de s_non ce sera le produit de cette somme par la quantité d'éléments que possède l'AP, divisé par deux, puisque nous ajoutons les éléments "deux par deux". On se retrouve alors avec la formule suivante :

s_non = (Le₁ + le_non).n
2

Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-aritmetica.htm