Permutation est l'un des sujets abordés dans la discipline de analyse combinatoire en maths. Ayant en main toute séquence ordonnée avec un nombre "n" d'éléments distincts, toute autre séquence formée par les mêmes "n" éléments réordonnés est appelée un permutation.
Ainsi, on peut dire que si A est une permutation de B, alors A et B sont constitués des mêmes éléments, mais ordonnés différemment.
D'où viennent les permutations ?
Les permutations sont des cas isolés de Aménagements simples. Ce sont des groupements ordonnés d'un ensemble A d'éléments, de sorte que les groupes ont un nombre d'éléments inférieur ou égal à l'ensemble A.
L'ensemble A = {X, Y, Z}, {X, Y} et {Y, X} est un disposition simple des éléments de A pris 2 à 2. Le nombre d'éléments de A est représenté par la lettre « n ». O numéro de commande, ou alors numéro de classe, est "k". Ce nombre est le nombre d'éléments dans chaque tableau simple (dans le cas de l'exemple, ce nombre est 2).
La liste avec tous les arrangements simples des trois éléments de A pris 3 à 3 est la suivante :
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX et YXZ
Cette liste est précisément le cas particulier des arrangements qui reçoivent le nom de permutation.
Calcul des arrangements simples
Le nombre d'arrangements simples d'un ensemble A, qui a non éléments pris k le Oh, peut être calculé par la formule suivante :
LESnon, d'accord = non!
(n - k) !
Définition de permutation
Soit A un ensemble avec non éléments distincts. Toi dispositions simples de ces éléments pris n à n sont appelés permutations simples d'A. Ainsi, pour qu'il s'agisse d'une permutation, il faut que le numéro d'ordre k être égal au nombre non des éléments d'A. Le calcul suivant en résulte :
En prenant la formule utilisée pour les tableaux simples et le numéro d'ordre k = n, nous aurons :
C'est la formule utilisée pour calculer le nombre de permutations des éléments de l'ensemble A, généralement noté Pnon. Bientôt:
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Pnon = Unnon non = n!
Pnon = n!
Exemple
Calculez le nombre de permutations des lettres du mot AMOUR.
Solution:
Notez que le mot LOVE a 4 éléments distincts. Pour calculer le nombre de permutations de ce mot, on utilisera la formule ci-dessus :
Pnon = n!
P4 = 4!
P4 = 4·3·2·1
P4 = 24
Par conséquent, il est possible de former 24 permutations différentes des lettres du mot LOVE. Les permutations de mots sont aussi appelées anagrammes.
Permutations avec éléments répétés
Tout ensemble peut avoir des éléments répétés. À permutation cet ensemble devrait considérer la répétition de ces éléments, car l'ordre dans lequel ils apparaissent n'a pas d'importance, contrairement à l'ordre des autres éléments de l'ensemble. Si nous ne changeons que les deux « A » de lieu dans le mot AMAR, nous obtiendrons le même mot. Les mots semblables ne sont pas permutation, par conséquent, cette répétition doit être soustraite dans la formule des permutations.
Pour soustraire toutes les répétitions possibles d'éléments dans un permutation avec éléments répétés, nous devons faire ce qui suit :
Soit A un ensemble avec non éléments, dont k éléments se répètent. La formule pour calculer les permutations de A est :
Pnonk = non!
k!
Si défini A, avec non éléments, posséder k répétitions d'un élément et j répétitions d'un autre, le calcul se fera comme suit :
Pnonhaha = non!
k!·j!
Si un ensemble A, avec non éléments, a k répétitions d'un élément, j répétitions d'un autre, …, m répétitions d'une autre, la formule prend la forme suivante :
Pnonk, j,...,m = non!
k!·j!·... ·m!
Exemple
Calculez le nombre d'anagrammes du mot ANTONIA.
Solution:
Pour résoudre l'exemple, il suffit de calculer le permutations avec éléments répétés du mot ANTONIA. La lettre A et la lettre N sont répétées 2 fois. Regarder:
P72,2 = 7!
2!·2!
P72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
P72,2 = 5040
4
P72,2 = 1260
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
