Toi les triangles ont des points remarquables avec de nombreuses applications.. Certains de ces éléments, tels que la hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice, qui sont donnés par segments droits à l'intérieur du triangle, ils ont des caractéristiques et des applications importantes, pas seulement en mathématiques.
Nous savons que l'intersection de deux ou plusieurs droites est donnée par un point, donc la rencontre de ces segments forme des points qui ont des caractéristiques et propriétés importantes, ce sont :
- orthocentre
- barycentre
- centre circonscrit
- centre
hauteur des triangles
la hauteur d'un Triangle est le segment formé par l'union d'un des sommets avec son côté opposé ou son prolongement, dans lequel un angle de 90° est formé entre le segment et le côté. Dans chaque triangle, il est possible de tracer trois hauteurs relatives de chaque côté. Voir:
le segment AG est la hauteur par rapport au côté BC, et le segment
DH est la hauteur par rapport au côté EF. A noter que pour déterminer la hauteur par rapport au côté EF, il a été nécessaire de réaliser une extension du côté.Orthocentre
L'orthocentre est l'intersection des hauteurs par rapport aux trois sommets, c'est-à-dire qu'il est point de rencontre entre toutes les hauteurs d'un triangle.
Le point O est l'orthocentre du triangle ABC.
L'orthocentre a des propriétés importantes dans certains types de triangles, voir :
→ Non Triangle aigu, les hauteurs et l'orthocentre sont à l'intérieur de la figure.
→ En un triangle rectangle, deux hauteurs coïncident avec les deux côtés, une autre hauteur est à l'intérieur du triangle et l'orthocentre est situé au sommet de ce triangle, qui a un angle de 90°.
→ En un triangle obtus, l'une des hauteurs est à l'intérieur du triangle, et les deux autres sont à l'extérieur de celui-ci, l'orthocentre est également situé sur cet extérieur.
A lire aussi: Classement triangulaires: critères et noms
médian
La médiane d'un triangle est le segment formé par le union de l'un de ses sommets avec le milieu du côté opposé à ce sommet. A noter que, dans un triangle, il est possible de déterminer trois médianes relatives à chaque côté, voir :
Le segment de droite CD est la médiane par rapport au côté AB. Notez que ce segment a divisé le côté AB en deux parties égales, c'est-à-dire en deux.
Barycentre
Le barycentre est donné par le intersection des trois médianes d'un triangle, c'est-à-dire par le point de rencontre des trois médianes, voir :
Le point g est le centre du triangle ABC.
Comme dans l'orthocentre, le barycentre a des propriétés importantes, voir :
→ Le barycentre déterminera dans chacun des segments médians qui satisfont à chacune des égalités.
Exemple 1
Sachant que le point G de l'image suivante est le barycentre du triangle ABC et que GD = 3 cm, détermine la longueur du segment CG.
D'après les propriétés du barycentre, nous savons que le rapport entre les segments GD et CG est égal à la moitié. Donc, en remplaçant ces valeurs dans la relation, on a :
→ Considérant la définition de médiane, voyons que toutes les médianes sont à l'intérieur du triangle, nous pouvons donc conclure que le barycentre de tout triangle est également toujours à l'intérieur de la figure.. Cette observation est valable pour tout triangle.
Le barycentre nous donne également une caractéristique physique importante des triangles, car il nous permet de les équilibrer, c'est-à-dire le le barycentre est le centre de masse d'un triangle.
Voir aussi: Sinus, cosinus, tangente - rapports trigonométriques
Médiatrice
La bissectrice d'un triangle est donnée par un droite perpendiculaire passant par le milieu d'un côté de ce triangle.
Centre circonscrit
Le centre circonscrit est défini par le réunion des bissectrices, c'est-à-dire par l'intersection entre eux. Si nous représentons un triangle inscrit dans un circonférence, nous verrons que le centre circonscrit est le centre de cette circonférence, voir :
Le point Mest le centre circonscrit du triangle ABC et le centre de la circonférence. Les points H, I et J sont respectivement les milieux des côtés CB, CA et AB.
Le centre circonscrit a également certaines propriétés lorsqu'il est dessiné sur le triangle rectangle, l'angle obtus et l'angle aigu.
→ Le centre circonscrit dans le triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
→ Le centre circonscrit dans un triangle obtus est à l'extérieur.
→ Le centre circonscrit dans un Triangle aigu ça reste à l'intérieur.
Accédez également à: Cercle et circonférence – quelles sont les différences ?
Bissecteur
La bissectrice d'un triangle est donnée par droite qui divise un angle interne du triangle. Lorsque vous dessinez la bissectrice interne, voyez que nous aurons trois bissectrices internes par rapport aux trois côtés du triangle :
centre
Le centre est donné par intersection des bissectrices internes d'un triangle, c'est-à-dire qu'elle est donnée par la rencontre de ces demi-droites. Puisque les bissectrices sont internes, l'incenter sera toujours aussi à l'intérieur du triangle.
Incentro a quelques propriétés utiles pour résoudre certains problèmes, voir certains d'entre eux :
→ Le centre d'un cercle inscrit dans un triangle coïncide avec le centre de cette figure.
→ Le centre d'un triangle est équidistant de tous ses côtés, c'est-à-dire que les distances entre le centre et les trois côtés du triangle sont toutes égales.
Exercices résolus
question 1 – Sachant que le segment à l'intérieur est la bissectrice par rapport au côté AC et que les mesures indiquées sur la figure représentent l'angle divisé par la bissectrice, déterminez la valeur de x.
Résolution
En définissant une bissectrice, on sait qu'elle divise l'angle interne d'un triangle en deux, c'est-à-dire en deux parties égales, il faut donc :
5x -10 = 3x + 20
résoudre le équation du premier degré, nous devrons :
5x – 10 = 3x + 20
5x - 3x = 20 + 10
2x = 30
x = 15
Par conséquent, x = 15.
question 2 – Le segment de droite perpendiculaire tiré d'un sommet d'un triangle à l'un de ses côtés s'appelle :
la hauteur
b) bissectrice
c) bissectrice
d) médiane
e) socle
Résolution
D'après les définitions que nous avons étudiées, nous avons vu que la seule qui satisfait la condition d'énoncé est la hauteur. Rappelez-vous que la hauteur est le segment perpendiculaire à un côté d'un triangle.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-de-um-triangulo.htm