Contrairement aux figures géométriques formées par lui, le But n'a pas de définition. Cela signifie que, en géométrie, un point est un objet non défini utilisé pour définir d'autres objets. Les lignes, par exemple, sont des ensembles de points. Bien qu'elles semblent bien définies, les lignes n'ont pas non plus de définition, car tout ensemble contenant deux points ou plus est considéré comme droit.
Par contre, en géométrie analytique, le point est pris comme emplacement. Tout emplacement peut être représenté par un point et, de plus, l'« adresse » de ce point est donnée au moyen de coordonnées.
Cependant, en géométrie analytique, les points ne peuvent indiquer que des emplacements. D'autres objets sont nécessaires pour indiquer la trajectoire, la direction, la direction et l'intensité. Pour ces trois derniers, l'objet choisi pour les représenter dans le plan cartésien est le vecteur.
→ Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Vecteurs, par conséquent, sont des objets qui indiquent la direction, le sens et l'intensité. Ils sont généralement représentés par des flèches, qui partent de l'origine, et les coordonnées de leur dernier point sont utilisées.
Dans l'image ci-dessus, les vecteurs sont représentés de cette manière, c'est-à-dire des flèches dont les coordonnées correspondent à leur point final. Le vecteur u a des coordonnées (2,2) et le vecteur v a des coordonnées (4,2). De plus, la flèche est utilisée pour indiquer la direction et la direction, et sa taille indique l'intensité.
→ Multiplication vectorielle par un nombre
Étant donné le vecteur v = (a, b), le produit du nombre réel k par v est donné par l'expression :
k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)
En d'autres termes, pour multiplier un nombre réel par un vecteur, vous devez multiplier le nombre réel par chacune de ses coordonnées.
Géométriquement, multiplier un vecteur par un nombre réel augmente linéairement la taille du vecteur :
Notez que, dans l'exemple ci-dessus, le vecteur u a des coordonnées (2.2), et le vecteur u·k a des coordonnées (4.4). En résolvant l'équation (4.4) = k (2.2), nous pouvons conclure que k = 2.
→ Ajout de vecteurs
Étant donnés deux vecteurs u = (a, b) et v = (c, d), la somme entre eux sera obtenue par l'expression :
u + v = (a + c, b + d)
En d'autres termes, il suffit d'additionner les coordonnées correspondantes de chaque vecteur. Cette opération est extensible à la somme de 3 vecteurs ou plus avec 3 dimensions ou plus.
Géométriquement, à partir de l'extrémité du vecteur u, un vecteur v' est tracé parallèlement au vecteur v. A partir du vecteur v, un vecteur u' est tracé parallèlement au vecteur u. Ces quatre vecteurs forment un parallélogramme. Le vecteur u + v est la diagonale suivante de ce parallélogramme :
Pour soustraire des vecteurs, considérez la soustraction comme la somme d'un vecteur et l'opposé d'un autre. Par exemple, pour soustraire le vecteur v du vecteur u, écrivez: u – v = u + (-v). Le vecteur -v est le vecteur v, mais avec les signes de coordonnées inversés.
En y regardant de plus près, les opérations "multiplier un vecteur par un nombre" et "ajouter des vecteurs" utiliser des opérations de multiplication et d'addition sur des nombres réels, mais sur chaque composante du vecteur. Par conséquent, pour les vecteurs, toutes les propriétés d'addition et de multiplication de nombres réels sont valides, à savoir :
Étant donné les vecteurs u, v et w et les nombres réels k et l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) il existe un vecteur 0 = (0,0) tel que v + 0 = v
iv) Il existe un vecteur -v tel que v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur est l'équivalent de la grandeur d'un nombre réel, c'est-à-dire la distance entre un vecteur et le point (0,0) ou, selon le référentiel, la longueur du vecteur.
La norme du vecteur v = (a, b) est notée ||v|| et peut être calculé à l'aide de l'expression :
||v|| = (a2 + b2)
→ Produit interne
Le produit interne est comparable au produit entre vecteurs. Notez que le produit mentionné ci-dessus est le produit entre un vecteur et un nombre réel. Or, le « produit » en question se situe entre deux vecteurs. Cependant, il ne faut pas dire « produit entre deux vecteurs », mais plutôt « produit interne entre deux vecteurs ». Le produit scalaire entre les vecteurs v = (a, b) et u = (c, d) est noté
Il est également d'usage d'utiliser la notation suivante :
Notez qu'en utilisant la norme du vecteur v = (a, b), nous pouvons relier la norme et le produit scalaire.
||v|| = (a2 + b2) = (a·a + b·b) = √(
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm