O triangle équilatéral est un type particulier de triangle. Pour cette raison, toutes les propriétés qui s'appliquent aux triangles sont valables pour lui, mais ce type a également propriétés spécifiques.
Quand une polygone il n'a que trois côtés, il est connu comme Triangle. Cette forme géométrique peut être classée en comparant ses côtés. Un triangle peut donc être scalène, quand tous les côtés sont différents ;isocèle, lorsque deux côtés sont congrus; et équilatéral, lorsque les trois côtés sont congrus.
Le triangle équilatéral a des caractéristiques spécifiques en raison de ses mesures égales. Il existe même des formules de calcul d'aire et de périmètre qui ne sont efficaces que pour les triangles équilatéraux
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Propriétés du triangle équilatéral
Un triangle est dit équilatéral lorsqu'il a la mesure des trois côtés congrus, ainsi, par conséquent, le votre angles internes sont également congrus
. Puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180º et que les angles sont égaux, lorsqu'on divise 180º par 3, on arrive à des angles de 60º. Les angles internes du triangle équilatéral mesurent donc toujours 60°.
En raison de ces caractéristiques, le triangle équilatéral a des propriétés spécifiques. si on trace la hauteur du triangle équilatéral, elle sera aussi bissectrice (segment de droite qui divise l'angle en deux parties congruentes) et moyenne (ligne droite qui relie le sommet au milieu du côté opposé).
Lors de la division du triangle comme dans l'image précédente, la hauteur du triangle peut être écrite en fonction du côté, ce qui peut être démontré par les deux trigonométrie combien par théorème de Pythagore.
La formule pour calculer la hauteur d'un triangle équilatéral est :
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→ 1ère démonstration :
Dans le théorème de Pythagore, il est montré qu'il existe une relation entre les côtés d'un triangle rectangle. La somme du carré des jambes est égale au carré de l'hypoténuse. L'hypoténuse est le plus grand côté opposé à l'angle de 90° (dans notre cas, le côté qui mesure là), et les jambes sont les deux autres côtés. Donc, nous devons :
→ 2ème démonstration:
Il convient de rappeler deux faits importants sur la trigonométrie. L'un d'eux est le sinus d'un angle et l'autre est la valeur sinus de 60°.
Le sinus de tout angle est donné par la relation entre le côté opposé et l'hypoténuse du triangle rectangle :
Il convient également de rappeler le angles remarquables, qui sont les angles de 30º, 45º et 60º. Dans ce cas, nous utiliserons l'angle de 60º, il est donc important de souligner que :
Ceci permet de démontrer que la hauteur ne dépend que de h. Voir:
Quel que soit le type d'épreuve, vous pouvez voir que la hauteur (h) ne dépend que de la valeur du côté à calculer.
Périmètre du triangle équilatéral
Le périmètre est la somme de tous les côtés d'un polygone. Comme le triangle équilatéral est un polygone régulier, c'est à dire, a les trois côtés congrus, le calcul de votre périmètre est très simple, cela ne dépend que de la mesure sur le côté là d'un triangle équilatéral. Comme il a les trois côtés avec la même mesure, nous devons :
P = 3là
Exemple 1:
Calculez le périmètre du triangle équilatéral dont le côté mesure 9 cm.
Résolution:
P = 3là
P = 3,9 = 27 cm
Exemple 2:
Pour clôturer un terrain avec 5 boucles de fil, 450 mètres de fil ont été nécessaires. Sachant que le terrain a la forme d'un triangle équilatéral, quelle est la mesure de chacun de ses côtés ?
Résolution:
On a pour donnée 5 fois le périmètre et on veut trouver la valeur des côtés.
Par conséquent, nous devons :
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aire du triangle équilatéral
Nous comprenons cela aire d'un triangle tout est donné par multiplication de la base par la hauteur divisée par deux, mais le triangle équilatéral a une formule spéciale, qui est la suivante :
→ Démonstration de formule :
L'aire de tout triangle est donnée par :
exercices résolus
Question 1 - Est-ce que l'aire et la hauteur d'un triangle équilatéral qui a un périmètre de 15 cm, respectivement (indice: utilisez √3 = 1,7) ?
a) 15 et 225
b) 5 et 11.3
c) 10,5 et 21
d) 4,25 et 10,625
e) 8,5 et 22,5
Résolution
- 1ère étape: trouver la valeur sur le côté là.
Si le périmètre est de 15 cm, cela signifie que 3là est égal à 15, donc le côté du triangle est de 5 cm.
- 2ème étape : calculer la hauteur.
- 3ème étape: calculer l'aire.
Lettre D.
Question 2 - Un triangle équilatéral a des côtés mesurant y, 2x + 3 et 4x – 2, donc les valeurs de x et y sont respectivement :
a) 5 et 16
b) 16 et 5
c) 4 et 2
d) 8 et 2,5
e) 2,5 et 8
Résolution:
Un triangle équilatéral a des côtés congrus, donc :
Commençons par faire correspondre les côtés qui ont la même inconnue :
Connaissant la valeur de x, nous choisissons n'importe quel côté qui a cette inconnue et la définissons sur y.
Lettre e.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-triangulo-equilatero-seus-elementos.htm
