Fonction exponentielle: types, graphique, exercices

LES fonction exponentielle se produit lorsque, dans sa loi de formation, la variable est dans l'exposant, avec domaine et contre-domaine dans le nombres réels. Le domaine de la fonction exponentielle est constitué des nombres réels et le domaine du compteur est constitué des nombres réels positifs non nuls. Votre loi de formation peut être décrite par f(x) =le^X, sur quoi le est un nombre réel positif différent de 1.

O graphique d'une fonction exponentielle sera toujours dans les premier et deuxième quadrants du plan cartésien, et peut être croissante, lorsque le est un nombre supérieur à 1, ou décroissant lorsque le est un nombre positif inférieur à 1. LES fonction inverse de la fonction exponentielle est la fonction logarithmique, ce qui rend les graphiques de ces fonctions toujours symétriques.

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Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?

Comme son nom l'indique, le terme exponentiel est lié à exposant. La définition de la fonction exponentielle est donc un

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fonction dont domaine est l'ensemble des nombres réels, et le contre-domaine est l'ensemble des nombres réels positifs non nuls., décrit par : ℝ → ℝ*₊. Sa loi de formation est décrite par l'équation f (x) = le^X, sur quoi le c'est n'importe quel nombre réel, positif, non nul et donné le nom de base.

Exemples:

Dans la loi de formation, f (x) peut également être décrit comme y et, comme dans les autres fonctions, il est connu comme une variable dépendante, car sa valeur dépend de x, qui est connu comme une variable. indépendant.

Types de fonction exponentielle

Les fonctions exponentielles peuvent être classées en deux cas distincts. Compte tenu du comportement de la fonction, il peut être ascendant ou descendant.

Une fonction exponentielle est dite croissante si, à mesure que la valeur de x augmente, la valeur de f(x) augmente également. Cela se produit lorsque la base est supérieure à 1, c'est-à-dire: le > 1.

Exemple:

Graphique d'une fonction exponentielle croissante

Une fonction exponentielle est considérée comme décroissante si, à mesure que la valeur de x augmente, la valeur de f(x) diminue. Cela se produit lorsque la base est un nombre compris entre 0 et 1, c'est-à-dire 0 < le < 1.

Exemple:

Graphique d'une fonction exponentielle décroissante

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Graphique de fonction exponentielle

Afin de dessiner la représentation graphique d'une fonction exponentielle, il est nécessaire de trouver l'image pour certaines valeurs de domaine. Le graphique d'une fonction exponentielle a la caractéristique d'une croissance bien supérieure à celle de fonctions linéaires, si elle augmente, ou une diminution plus importante, si elle diminue.

Exemples:

a) Construire le graphe de la fonction: f (x) = 2^X.

Depuis >1, alors cette fonction est croissante. Pour construire le graphe, affectons quelques valeurs à x comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

Maintenant que l'on connaît certains points de la fonction, il est possible de les marquer dans le plan cartesien et tracer la courbe de la fonction exponentielle.

b) Construisez le graphe de la fonction suivante :

Dans ce cas, la fonction est décroissante, puisque la base est un nombre compris entre 0 et 1, alors le graphique sera décroissant.

Après avoir trouvé quelques valeurs numériques, il est possible de représenter le graphe de la fonction dans le plan cartésien :

Propriétés de la fonction exponentielle

→ 1ère propriété

Dans toute fonction exponentielle, quelle que soit sa valeur de base Le, Nous devonsf (0) = 1. Après tout, nous savons que c'est un propriété de puissance, c'est-à-dire que chaque nombre élevé à 0 est 1. Cela signifie que le graphique croisera l'axe vertical au point (0,1) à chaque fois.

→ 2ème propriété

La fonction exponentielle est injecteur. Données x₁ et x₂ tel que x₁ x₂, donc les images seront également différentes, c'est-à-dire f(x₁) f(x₂), ce qui signifie que pour chaque valeur d'image, il existe une seule valeur dans le domaine qui correspond à cette image.

Être injectif signifie que pour les valeurs autres que y, il y aura une seule valeur de x qui rend f(x) égal à y.

→ 3ème propriété

Il est possible de connaître le comportement de la fonction en fonction de sa valeur de base. Le graphique grandira si la base est supérieure à 1 (le > 1) et décroissante si la base est inférieure à 1 et inférieure à 0 (0 < à < 1).

→ 4ème propriété

O le graphique de la fonction exponentielle est toujours dans les 1er et 2e quadrants, parce que le contre-domaine de la fonction sont les réels positifs non nuls.

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Fonction exponentielle et fonction logarithmique

Comme la fonction exponentielle est une fonction qui admet l'inverse, cette comparaison entre fonction exponentielle et fonction logarithmique est inévitable. s'avère que la fonction logarithmique est la fonction inverse de l'exponentielle. Les graphiques de ces fonctions sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'axe des abscisses. Être une fonction inverse signifie que le fonction logarithmique fait le contraire de ce que fait la fonction exponentielle, c'est-à-dire dans la fonction exponentielle, si f (x) = y, alors la fonction logarithmique, étant inverse, sera notée f^-1 le F^-1 (y) = x.

Le graphique de la fonction exponentielle est symétrique au graphique de la fonction logarithmique.

exercices résolus

(Enem 2015) Le syndicat des travailleurs d'une entreprise suggère que le salaire plancher de la classe est de 1 800,00 R$, proposant un pourcentage d'augmentation fixe pour chaque année consacrée au travail. L'expression qui correspond à la ou aux propositions salariales, en fonction de l'ancienneté (t), en années, est s (t) = 1800·(1,03)^t.

Selon la proposition du syndicat, le salaire d'un professionnel de cette entreprise avec 2 ans de service sera, en reais,

a) 7 416,00

b) 3 819,24

c) 3.709,62

d) 3 708,00

e) 1909.62

Résolution:

On veut calculer l'image de la fonction lorsque t = 2, c'est-à-dire s(2). En remplaçant t = 2 dans la formule, nous trouverons que :

s (2) = 1800 · (1,03)²

s(2) = 1800 · 1,0609

s(2) = 1909,62

Variante E

2) (Enem 2015) L'ajout de technologies dans le système de production industrielle vise à réduire les coûts et augmenter la productivité. Au cours de la première année d'exploitation, une industrie a fabriqué 8 000 unités d'un produit particulier. L'année suivante, elle investit dans la technologie, acquiert de nouvelles machines et augmente sa production de 50 %. On estime que ce pourcentage d'augmentation sera répété dans les années à venir, garantissant une croissance annuelle de 50 %. Soit P la quantité annuelle de produits fabriqués au cours de l'année t d'exploitation de l'industrie.

Si l'estimation est atteinte, quelle est l'expression qui détermine le nombre d'unités produites Pen fonction de t, pour t ≥ 1?

Le) P(t) = 0,5 · t ^-1 + 8 000

B)P(t) = 50 · t ^-1+ 8000

ç)P(t) = 4 000 · t^-1 + 8 000

ré)P(t) = 8 000 · (0,5)^t-1

et)P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1

Résolution:

Notez qu'il existe une relation entre l'année t et la quantité d'un certain produit P. Sachant qu'il y a une augmentation de 50 % pour chaque année, cela signifie que, lorsqu'on compare la production d'une année avant et après, la valeur de la seconde correspond à 150 %, ce qui est représenté par 1,5. Sachant que la production initiale est de 8000 et que, la première année, c'était la production, on peut décrire cette situation par :

La première année, c'est-à-dire si t= 1 → s (t) = 8 000.
En deuxième année, si t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
En troisième année, si t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Après t ans, nous aurons P(t) = 8 000 · (1,5)^t-1.