En résolvant une équation du 1er degré on obtient un résultat (ce résultat est une valeur numérique qui, en remplaçant l'inconnue par cela, nous arrivons à une égalité numérique), cela peut être appelé la racine de l'équation ou l'ensemble de vérité ou l'ensemble de solutions de la équation. Voir l'exemple :
2x - 10 = 4 c'est une équation du 1er degré.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
2
S = 7
Par conséquent, 7 est le véritable ensemble de l'équation, de la solution ou de la racine de l'équation 2x - 10 = 4.
Si on remplace le x (inconnu) par la racine, on arrivera à une égalité numérique, voir :
2. 7 - 10 = 4
14 – 10 = 4
4 = 4 est une égalité numérique, on prend la preuve réelle que 7 est la racine de l'équation.
C'est à travers cet ensemble vrai que l'on identifie les équations équivalentes, car lorsque l'ensemble la vérité d'une équation est égale à l'ensemble des vérités d'une autre équation nous disons que les deux sont des équations équivalents. Ainsi, on peut définir des équations équivalentes telles que :
Deux ou plusieurs équations ne sont équivalentes que si leur ensemble de vérité est égal.
Voir un exemple d'équation équivalente :
Étant donné les équations 5x = 10 et x + 4 = 6. Pour vérifier s'ils sont équivalents, il faut d'abord trouver l'ensemble de vérité pour chacun.
5x = 10x + 4 = 6
x = 10: 5 x = 6 - 4
x = 2 x = 2
Les deux solutions sont égales, on peut donc dire que les équations 5x = 10 et x + 4 = 6 sont équivalentes.
Si nous égalisions les deux équations à zéro, elles ressembleraient à ceci :
5x = 10x + 4 = 6
5x – 10 = 0 x + 4 – 6 = 0
x – 2 = 0
Ainsi, on peut dire que: 5x – 10 = x – 2 et 5x = 10 et x + 4 = 6 sont équivalents, les deux manières de répondre signifient la même chose.
Comment passe-t-on d'une équation à une équation qui lui est équivalente? Pour cela, nous devons utiliser les principes d'égalité, ces principes sont utilisés à la fois pour trouver des équations équivalentes et pour tout type d'égalité mathématique.
Principes d'égalité
►Principe additif d'égalité.
Ce principe dit que dans une égalité mathématique si nous ajoutons la même valeur aux deux membres d'une équation, nous obtiendrons une équation équivalente à l'équation donnée. Voir l'exemple :
Étant donné l'équation 3x – 1 = 8. Si nous ajoutons 5 aux deux membres de votre égalité, nous aurons :
3x - 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 nous arrivons à une autre équation.
D'après le principe additif d'égalité, les deux équations sont équivalentes. Si nous trouvons les racines des deux équations, nous trouvons qu'elles sont égales, alors nous dirons ce que dit ce principe que les deux sont équivalents. Voir le calcul de ses racines :
3x – 1 = 8 3x + 4 = 13
3x = 8 + 1 3x = 13 - 4
3x = 9 3x = 9
x = 9: 3 x = 9: 3
x = 3 x = 3
►Principe multiplicatif d'égalité.
Ce principe dit que lorsque nous multiplions ou divisons les deux membres de l'égalité par le même nombre, tant qu'il est différent de zéro, nous obtiendrons une autre équation qui sera équivalente à l'équation étant donné. Voir l'exemple :
Étant donné l'équation x – 1 = 2, une façon de trouver une équation équivalente consiste à utiliser le principe multiplicatif d'égalité. Si on multiplie les deux membres de cette égalité par 4, on a :
4. (x – 1) = 2. 4
4x – 4 = 8 nous arrivons à une autre équation qui est équivalente à l'équation x – 1 = 2.
Nous savons déjà que leurs équations sont équivalentes si leurs racines sont égales. Calculons donc les racines à partir de l'exemple ci-dessus, pour voir si elles sont vraiment équivalentes.
x – 1 = 2 4x – 4 = 8
x = 2 + 1 4x = 8 + 4
x = 3 4x = 12
x = 12: 4
x = 3
Les racines sont égales, nous confirmons donc le principe multiplicatif d'égalité.
par Danielle de Miranda
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
Équation - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm