LES mmultiplication matricielle se fait grâce à un algorithme qui demande beaucoup d'attention. Pour que le produit entre la matrice A et la matrice B existe, il faut que le nombre de Colonnes donne premier quartier général, au cas où A, est égal au nombre de lignes donne lundi quartier général, dans le cas B.
A partir de la multiplication entre matrices, il est possible de comprendre ce qu'est la matrice identité, qui est la élément neutre de la multiplication matricielle, et quelle est la matrice inverse de la matrice M, qui est la matrice M-1 dont le produit de M par M-1 est égal à la matrice identité. Il est également possible de multiplier une matrice par un nombre réel — dans ce cas, nous multiplions chacun des termes de la quartier général par numéro.
A lire aussi: Qu'est-ce qu'une matrice triangulaire ?
condition d'existence
Pour multiplier deux matrices, il faut d'abord vérifier la condition d'existence. Pour que le produit existe,
le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. De plus, le résultat de la multiplication est une matrice qui a le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième matrice.Par exemple, le produit AB entre les matrices A3x2 et B2x5 existe car le nombre de colonnes dans A (2 colonnes) est égal au nombre de lignes dans B (2 lignes), et le résultat est la matrice AB3x5. Déjà produit entre matrices C3x5 et matrice D2x5 n'existe pas, car C a 5 colonnes et D a 3 lignes.
Comment calculer le produit entre deux matrices ?
Pour effectuer une multiplication matricielle, il est nécessaire de suivre quelques étapes. Nous allons faire un exemple de multiplication d'une matrice algébrique A2x3 par la matrice B3x2
Nous savons que le produit existe, car la matrice A a 3 colonnes et la matrice B, 3 lignes. Nous appellerons C le résultat de la multiplication A·B. De plus, nous savons également que le résultat est une matrice C.2x2, car la matrice A a 2 lignes et la matrice B, 2 colonnes.
Pour calculer le produit de la matrice A2x3 et matrice B3X2, suivons quelques étapes.
On trouvera d'abord chacun des termes de la matrice C2x2:
Pour trouver les termes, faisons relie toujours les lignes de la matrice A aux colonnes de la matrice B :
ç11 → 1ère ligne de A et 1ère colonne de B
ç12 → 1ère ligne de A et 2ème colonne de B
ç21 → 2ème ligne de A et 1ère colonne de B
ç22 → 2ème ligne de A et 2ème colonne de B
Nous calculons chacun des termes en multipliant les termes de la ligne A et les termes de la colonne B. Il faut maintenant ajouter ces produits, en commençant par ç11:
1ère ligne de A
1ère colonne de B
ç11 = le11·B11 + le12·B21+ le13·B31
calculateur ç12:
1ère ligne de A
2ème colonne de B
ç12 = le11·B12 + le12·B22+le13·B32
calculateur ç21:
2ème ligne de A
1ère colonne de B
ç21 = le21·B11 + le22·B21+le23·B31
calculer le terme ç22:
2ème ligne de A
2ème colonne de B
ç22 = le21·B12 + le22·B22+le23·B32
Ainsi, la matrice C est formée par les termes :
Exemple:
Calculons la multiplication entre les matrices A et B.
On sait que dans A2x2 et B2x3, le nombre de colonnes dans la première est égal au nombre de lignes dans la seconde, donc le produit existe. On fera donc C = A· B et on sait que C2x3.
En multipliant, il faut :
Voir aussi: Qu'est-ce qu'une matrice transposée ?
matrice d'identité
Dans la multiplication entre matrices, il existe des cas particuliers, tels que la matrice identité, qui est l'élément neutre de multiplication entre matrices.. La matrice identité est une matrice carrée, c'est-à-dire que le nombre de lignes est toujours égal au nombre de colonnes. De plus, seuls les termes de la diagonale y sont égaux à 1 et les autres termes sont tous égaux à zéro. Quand on multiplie une matrice M par la matrice identité Inon, Nous devons:
M · jenon = M
Exemple:
Quelle est la matrice inverse?
Étant donnée une matrice M, nous la connaissons comme une matrice inverse de M. la matrice M-1dont le produit M · M-1 équivaut à à matrice d'identité Inon. Pour qu'une matrice ait un inverse, elle doit être carrée, et son déterminant doit être différent de 0. Regardons des exemples de matrices qui sont inverses :
En calculant le produit A·B, il faut :
Notez que le produit entre A et B matrice générée I2. Lorsque cela se produit, on dit que B est la matrice inverse de A. Pour en savoir plus sur ce type de matrice, lisez: Matrice inverse.
Multiplication matricielle par un nombre réel
Contrairement à la multiplication entre matrices, il existe également une multiplication matricielle par un nombre réel, ce qui est une opération beaucoup plus simple pour trouver la solution.
Étant donné une matrice M, en multipliant la matrice par un nombre réel k est égal à la matrice kM. Pour trouver cette matrice kM, assez multiplier tous les termes de la matrice par la constante k.
Exemple:
si k = 5 et en considérant la matrice M ci-dessous, trouvez la matrice 5M.
Multiplier :
exercices résolus
Question 1 - (Unitau) Étant donné les matrices A et B,
la valeur de l'élément c11 de la matrice C = AB est :
A) 10.
B) 28.
C) 38.
D) 18.
E) 8.
Résolution
Alternative A.
Comment voulons-nous le terme c11, multiplions les termes de la première ligne et A avec les termes de la première colonne de B.
calculer c11 = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10
Question 2 - (Enem 2012) Un étudiant a inscrit les notes bimensuelles de certaines de ses matières dans un tableau. Il a noté que les entrées numériques dans le tableau formaient une matrice 4×4, et qu'il pouvait calculer les moyennes annuelles pour ces disciplines en utilisant le produit de matrices. Tous les tests avaient le même poids, et le tableau qu'il a obtenu est présenté ci-dessous.
Pour obtenir ces moyennes, il a multiplié la matrice obtenue à partir du tableau par la matrice :
Résolution
Alternative E.
La moyenne n'est rien de plus que la somme des éléments divisée par le nombre d'éléments. Notez qu'il y a 4 notes par ligne, donc la moyenne serait la somme de ces notes divisée par 4. Diviser par 4 revient à multiplier par fraction ¼. De plus, la matrice des notes est une matrice 4x4, nous devons donc multiplier par une matrice 4x1, c'est-à-dire qu'elle a 4 lignes et 1 colonne, pour trouver la matrice qui a la moyenne des notes.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm