Matrice inverse: qu'est-ce que c'est, comment trouver des exercices

La notion de matrice inverse se rapproche beaucoup du concept de l'inverse d'un nombre. Rappelons que l'inverse d'un nombre non est le nombre non^-1, où le produit entre les deux est égal à l'élément neutre du multiplication, c'est-à-dire le numéro 1. Déjà l'inverse de la matrice M est la matrice M^-1, où le produit M · M^-1 est égal à la matrice identité I_non, qui n'est rien de plus que l'élément neutre de la multiplication matricielle.

Pour que la matrice ait un inverse, il faut qu'elle soit carrée et, en plus, son déterminant doit être différent de zéro, sinon il n'y aura pas d'inverse. Pour trouver la matrice inverse, nous utilisons l'équation matricielle.

Lire aussi: Matrice triangulaire — type spécial de matrice carrée

Pour qu'une matrice ait un inverse, elle doit être carrée.

matrice d'identité

Pour comprendre ce qu'est la matrice inverse, il faut d'abord connaître la matrice identité. On connaît comme matrice identité la matrice carrée I_non où tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et les autres termes sont égaux à 0.

LES la matrice identité est l'élément neutre de multiplication entre matrices., c'est-à-dire compte tenu d'un quartier général M d'ordre n, le produit entre la matrice M et la matrice I_non est égal à la matrice M.

M · je_non = M

Comment calculer la matrice inverse

Pour trouver la matrice inverse de M, il faut résoudre une équation matricielle :

 M · M^-1 = je_non

Exemple

Trouvez la matrice inverse de M.

Puisque nous ne connaissons pas la matrice inverse, représentons cette matrice algébriquement :

Nous savons que le produit entre ces matrices doit être égal à I₂:

Résolvons maintenant l'équation matricielle :

Il est possible de séparer le problème en deux systèmes de équations. Le premier utilise la première colonne de la matrice M ·M^-1 et la première colonne de la matrice identité. Donc, nous devons :

Pour résoudre le système, isolons le₂₁ dans l'équation II et substituer dans l'équation I.

En substituant dans l'équation I, il faut :

Comment trouver la valeur d'un₁₁, alors nous trouverons la valeur d'un₂₁:

Connaître la valeur d'un₂₁ et le₁₁, maintenant nous allons trouver la valeur des autres termes en mettant en place le deuxième système :

isoler le₂₂ dans l'équation III, il faut :

3e₁₂ + 1er₂₂ = 0

le₂₂ = – 3e₁₂

Substituer dans l'équation IV :

5e₁₂ + 2e₂₂ =1

5e₁₂ + 2·( - 3e₁₂) = 1

5e₁₂ – 6e₁₂ = 1

- une₁₂ = 1 ( – 1)

le₁₂ = – 1

Connaître la valeur d'un₁₂, on trouvera la valeur d'un₂₂ :

le₂₂ = – 3e₁₂

le₂₂ = – 3 · ( – 1)

le₂₂ = 3

Maintenant que nous connaissons tous les termes de la matrice M^-1, il est possible de le représenter :

A lire aussi: Addition et soustraction de matrices

Propriétés de la matrice inverse

Il y a des propriétés qui résultent de la définition d'une matrice inverse.

• 1ère propriété: l'inverse de la matrice M^-1 est égal à la matrice M. L'inverse d'une matrice inverse est toujours la matrice elle-même, c'est-à-dire (M^-1)^-1 = M, car on sait que M^-1 · M = je_non, donc M^-1 est l'inverse de M et aussi M est l'inverse de M^-1.
• 2ème propriété: l'inverse d'une matrice identité est elle-même: I^-1 = I, car le produit de la matrice identité par lui-même donne la matrice identité, c'est-à-dire I_non · JE_non = je_non.
• 3ème propriété: l'inverse de produit de deux matriceses-tu est égal au produit des inverses :

(M×H)^-1 = M^-1 · UNE^-1.

• 4ème propriété: une matrice carrée a inverse si et seulement si son déterminant est différent de 0, c'est-à-dire det(M) 0.

exercices résolus

1) Étant donnés la matrice A et la matrice B, sachant qu'elles sont inverses, alors la valeur de x+y est :

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Résolution:

Alternative d.

Construire l'équation :

A · B = je 

Par la deuxième colonne, en égalant les termes, nous devons :

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isoler x dans I :

Remplacement dans équation II, il faut :

Connaissant la valeur de y, nous trouverons la valeur de x :

Calculons maintenant x + y :

question 2

Une matrice n'a d'inverse que lorsque son déterminant est différent de 0. En regardant la matrice ci-dessous, quelles sont les valeurs x qui font que la matrice ne prend pas en charge l'inverse ?

a) 0 et 1.

b) 1 et 2.

c) 2 et – 1.

d) 3 et 0.

e) – 3 et – 2.

Résolution:

Alternative b.

En calculant le déterminant de A, on veut des valeurs où det(A) = 0.

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

résoudre le équation du 2e degré, Nous devons:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

= b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm