LES quartier général il est couramment utilisé pour organiser des données tabulaires afin de faciliter la résolution de problèmes. Les informations matricielles, qu'elles soient numériques ou non, sont soigneusement organisées en lignes et en colonnes.
L'ensemble des matrices équipées des opérations de une addition, soustraction et multiplication et les traits, en tant qu'élément neutre et inverse, forment une structure mathématique qui permet son application dans divers domaines de ce vaste domaine de connaissances.
Voir aussi: Relation entre les systèmes matriciels et linéaires
Représentation matricielle
Avant de commencer les études sur les matrices, il est nécessaire d'établir quelques notations concernant leurs représentations. À les matrices sont toujours représentées par des majuscules. (A, B, C…), qui sont accompagnés d'index, dans lesquels les le premier nombre indique le nombre de lignes, et le second, le nombre de colonnes.
LES nombre de lignes (rangées horizontales) et Colonnes (lignes verticales) d'une matrice détermine son
ordre. La matrice A est d'ordre m par n. Les informations contenues dans un tableau sont appelées éléments et sont organisés entre parenthèses, crochets ou deux barres verticales, voir les exemples :
La matrice A a deux lignes et trois colonnes, donc son ordre est deux par trois → A2x3.
La matrice B a une ligne et quatre colonnes, son ordre est donc un par quatre, elle est donc appelée matrice de ligne → B1x4.
La matrice C a trois lignes et une colonne, et elle est donc appelée matrice de colonnes et son ordre est trois par un → C3x1.
Nous pouvons représenter génériquement les éléments d'un tableau, c'est-à-dire que nous pouvons écrire cet élément à l'aide d'une représentation mathématique. Ol'élément générique sera représenté par des lettres minuscules (a, b, c…), et, comme dans la représentation des tableaux, il possède également un indice qui indique son emplacement. Le premier nombre indique la ligne dans laquelle se trouve l'élément et le deuxième nombre indique la colonne dans laquelle il se trouve.
Considérons la matrice A suivante, nous allons lister ses éléments.
En observant le premier élément situé dans la première ligne et la première colonne, c'est-à-dire dans la première ligne et la première colonne, nous avons le numéro 4. Afin de faciliter l'écriture, nous la désignerons par :
le11 → élément ligne un, colonne un
On a donc les éléments suivants de la matrice A2x3:
le11 = 4
le12 =16
le13 = 25
le21 = 81
le22 = 100
le23 = 9
En général, on peut écrire un tableau en fonction de ses éléments génériques, c'est le matrice générique.
Une matrice de m lignes et n colonnes est représentée par :
Exemple
Déterminer la matrice A = [aje ]2x2, qui a la loi de formation suivante pourje = j2 – 2i. D'après les données de l'instruction, nous avons que la matrice A est d'ordre deux à deux, c'est-à-dire qu'elle a deux lignes et deux colonnes, donc :
De plus, la loi de formation de la matrice a été donnée, c'est-à-dire que chaque élément est satisfait de la relation àje = j2 – 2i. En substituant les valeurs de i et j dans la formule, on a :
le11 = (1)2 - 2(1) = -1
le12 = (2)2 - 2(1) = 2
le21 = (1)2 - 2(2) = -3
le22 = (2)2 - 2(2) = 0
Par conséquent, la matrice A est :
Types de baies
Certaines matrices méritent une attention particulière, voir maintenant ces types de tableaux avec des exemples.
Matrice Carrée
Une matrice est carrée lorsque le le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Nous représentons la matrice qui a n lignes et n colonnes par Anon (lit: matrice carrée d'ordre n).
Dans les matrices carrées, nous avons deux éléments très importants, le diagonales: principale et secondaire. La diagonale principale est formée d'éléments qui ont des indices égaux, c'est-à-dire que chaque élément est unje avec i = j. La diagonale secondaire est formée par des éléments aje avec i + j = n +1, où n est l'ordre matriciel.
matrice d'identité
La matrice identité est une matrice carrée qui a touttoiéléments de la diagonale principale égaux à 1 et le autres éléments égaux à 0, sa loi de formation est :
On note cette matrice par I, où n est l'ordre de la matrice carrée, voir quelques exemples :
matrice unitaire
C'est une matrice carrée d'ordre un, c'est-à-dire qu'elle a une ligne et une colonne et, par conséquent, un seul élément.
A = [-1]1x1, B = je1 = (1)1x1 et C = || 5||1x1
Ce sont des exemples de matrices unitaires, en mettant l'accent sur la matrice B, qui est une matrice d'identité unitaire.
matrice nulle
Un tableau est dit nul si tous ses éléments sont égaux à zéro. On représente une matrice nulle d'ordre m par n par Omxn.
La matrice O est nulle d'ordre 4.
matrice opposée
Considérons deux matrices d'ordre égal: A = [aje]mxn et B = [bje]mxn. Ces matrices seront dites ci-contre si, et seulement si, lesje = -bje. Ainsi, les éléments correspondants doivent être nombres opposés.
On peut représenter la matrice B = -A.
matrice transposée
Deux matrices A = [aje]mxn et B = [bje]nxm elles sont transposé si, et seulement si, leje = bj'ai , c'est-à-dire étant donné une matrice A, pour trouver sa transposition, il suffit de prendre les lignes comme colonnes.
La transposée de la matrice A est notée AT. Voir l'exemple :
Voir plus: Matrice inverse: qu'est-ce que c'est et comment vérifier
Opérations matricielles
L'ensemble des matrices a les opérations d'unaddition et multiplication très bien définies, c'est-à-dire que chaque fois que nous opérons deux matrices ou plus, le résultat de l'opération appartient toujours à l'ensemble des matrices. Mais qu'en est-il de l'opération de soustraction? Nous comprenons cette opération comme étant l'inverse de l'addition (matrice opposée), qui est également très bien définie.
Avant de définir les opérations, comprenons les idées de élément correspondant et égalité des matrices. Les éléments correspondants sont ceux qui occupent la même position dans différentes matrices, c'est-à-dire qu'ils sont situés dans la même ligne et la même colonne. De toute évidence, les tableaux doivent être du même ordre pour que les éléments correspondants existent. Voir:
Les éléments 14 et -14 sont des éléments correspondants des matrices opposées A et B, car ils occupent la même position (même ligne et même colonne).
Deux matrices seront dites égales si et seulement si les éléments correspondants sont égaux. Ainsi, étant donné les matrices A = [aje]mxn et B = [bje]mxn, ceux-ci seront les mêmes si, et seulement si, leje = bje pour tout i j.
Exemple
Sachant que les matrices A et B sont égales, déterminez les valeurs de x et t.
Puisque les matrices A et B sont égales, alors les éléments correspondants doivent être égaux, donc :
x = -1 et t = 1
Addition et soustraction de matrices
Les opérations de addition et soustraction entre matrices ils sont assez intuitifs, mais d'abord une condition doit être satisfaite. Pour effectuer ces opérations, il faut d'abord vérifier que le les ordres des tableaux sont égaux.
Une fois cette condition vérifiée, l'addition et la soustraction de la matrice s'effectuent par addition ou soustraction des éléments correspondants des matrices. Considérons les matrices A = [aje]mxn et B = [bje]mxn, ensuite:
A + B = [aje + bje] mxn
A - B = [aje -Bje] mxn
Exemple
Considérez les matrices A et B ci-dessous, déterminez A + B et A - B.
Lire aussi: Opérations sur les nombres entiers
Multiplication d'un nombre réel par une matrice
La multiplication d'un nombre réel dans une matrice (également appelée multiplication matricielle) par un scalaire est donnée en multipliant chaque élément de la matrice par le scalaire.
Soit A = [aje]mxn une matrice et t un nombre réel, donc :
t · A = [t · aje]mxn
Voir l'exemple :
Multiplication matricielle
La multiplication des matrices n'est pas aussi triviale que leur addition et leur soustraction. Avant d'effectuer la multiplication, une condition doit également être satisfaite concernant l'ordre des matrices. Considérons les matrices Amxn et Bnxr.
Pour effectuer la multiplication, le le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. La matrice produit (qui vient de la multiplication) a un ordre donné par le nombre de lignes dans la première et le nombre de colonnes dans la seconde.
Pour effectuer la multiplication entre les matrices A et B, il faut multiplier chacune des lignes par toutes les colonnes comme suit: le premier élément de A est multiplié par le premier élément de B puis ajouté au deuxième élément de A et multiplié par le deuxième élément de B, et ainsi successivement. Voir l'exemple :
Lire aussi: Théorème de Laplace: savoir comment et quand utiliser
exercices résolus
question 1 – (U. ET. Londrina – PR) Soient les matrices A et B respectivement 3 x 4 et p x q, et si la matrice A · B est d'ordre 3 x 5, alors il est vrai que :
a) p = 5 et q = 5
b) p = 4 et q = 5
c) p = 3 et q = 5
d) p = 3 et q = 4
e) p = 3 et q = 3
Solution
Nous avons l'énoncé que :
LES3x4 · Bpxq = C3x5
De la condition de multiplier deux matrices, on a que le produit n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde, donc p = 4. Et on sait aussi que la matrice produit est donnée par le nombre de lignes dans la première avec le nombre de colonnes dans la seconde, donc q = 5.
Par conséquent, p = 4 et q = 5.
A: Alternative b
Question 2 - (Vunesp) Déterminer les valeurs de x, y et z, sur l'égalité suivante, impliquant 2 x 2 matrices réelles.
Solution
Effectuons les opérations entre les tableaux puis l'égalité entre eux.
Pour déterminer la valeur de x, y et z, nous allons résoudre le système linéaire. Dans un premier temps, ajoutons les équations (1) et (2).
2x - 4= 0
2x = 4
x = 2
En remplaçant la valeur de x trouvée dans l'équation (3), nous avons :
22 = 2z
2z = 4
z = 2
Et enfin, en substituant les valeurs de x et z trouvées dans l'équation (1) ou (2), on a :
x + y - z = 0
2 +y – 2 = 0
y=0
Par conséquent, la solution du problème est donnée par S = {(2, 0, 2)}.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques