Les notions de multiples et diviseurs d'un nombre naturel s'étendent à l'ensemble des nombres entiers. Lorsque nous traitons du sujet des multiples et des diviseurs, nous nous référons à ensembles numériques qui satisfont à certaines conditions. Les multiples sont trouvés après multiplication par des nombres entiers, et les diviseurs sont des nombres divisibles par un certain nombre.
Pour cette raison, nous trouverons des sous-ensembles des entiers, car les éléments des ensembles de multiples et de diviseurs sont des éléments de l'ensemble des entiers. Pour comprendre ce que sont les nombres premiers, il est nécessaire de comprendre le concept de diviseurs.
multiples d'un nombre
être le et B deux entiers connus, le nombre le est multiple de B si et seulement s'il existe un entier k tel que le = B · k. Ainsi, le ensemble de multiples dans leest obtenu en multipliantlepour tous les nombres entiers, les résultats de ces multiplication sont les multiples de le.
Par exemple, listons les 12 premiers multiples de 2. Pour cela, nous devons multiplier le nombre 2 par les 12 premiers nombres entiers, comme ceci :
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Par conséquent, les multiples de 2 sont :
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Notez que nous n'avons listé que les 12 premiers nombres, mais nous aurions pu en lister autant que nécessaire, car la liste des multiples est donnée en multipliant un nombre par tous les nombres entiers. Ainsi, l'ensemble des multiples est infini.
Pour vérifier si un nombre est ou non un multiple d'un autre, nous devons trouver un nombre entier pour que la multiplication entre eux donne le premier nombre. Voir les exemples :
→ Le nombre 49 est un multiple de 7, car il existe un nombre entier qui, multiplié par 7, donne 49.
49 = 7 · 7
→ Le nombre 324 est un multiple de 3, car il existe un nombre entier qui, multiplié par 3, donne 324.
324 = 3 · 108
→ Le nombre 523 non est un multiple de 2 car il n'y a pas d'entier ce qui, multiplié par 2, donne 523.
523 = 2 · ?
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Multiples de 4
Comme nous l'avons vu, pour déterminer les multiples du nombre 4, il faut multiplier le nombre 4 par des nombres entiers. Ainsi:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Par conséquent, les multiples de 4 sont :
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Multiples de 5
De manière analogue, nous avons des multiples de 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Ainsi, les multiples de 5 sont: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }
diviseurs à un nombre
être le et B deux entiers connus, disons B est diviseur de le si le nombre B est multiple de le, C'est le division entre B et le est exact (doit laisser du repos 0).
Voir quelques exemples :
→ 22 est un multiple de 2, donc 2 est un diviseur de 22.
→ 63 est un multiple de 3, donc 3 est un diviseur de 63.
→ 121 n'est pas un multiple de 10, donc 10 n'est pas un diviseur de 121.
Pour lister les diviseurs d'un nombre, il faut chercher les nombres qui le divisent. Voir:
– Énumérez les diviseurs de 2, 3 et 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Notez que les nombres dans la liste des diviseurs sont toujours divisibles par le nombre en question et que la valeur la plus élevée qui apparaît dans cette liste est le nombre lui-même., car aucun nombre supérieur à lui ne sera divisible par lui.
Par exemple, dans les diviseurs de 30, la plus grande valeur de cette liste est 30 elle-même, car aucun nombre supérieur à 30 ne sera divisible par elle. Ainsi:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Savoir plus: Faits amusants sur la division des nombres naturels
Propriété des multiples et des diviseurs
Ces propriétés sont liées à division entre deux entiers. Notez que lorsqu'un entier est un multiple d'un autre, il est également divisible par cet autre nombre.
Prendre en compte algorithme de division afin que nous puissions mieux comprendre les propriétés.
N = d · q + r, où q et r sont des nombres entiers.
souviens-toi que N est appelé de dividende ;d, pour diviseur ;q, pour le quotient ; et r, au fait.
→ Propriété 1 : La différence entre le dividende et le reste (N – r) est un multiple du diviseur, ou le nombre d est un diviseur de (N – r).
→ Propriété 2: (N – r + d) est un multiple de d, c'est-à-dire que le nombre d est un diviseur de (N – r + d).
Voir l'exemple :
– En effectuant la division de 525 par 8, on obtient le quotient q = 65 et le reste r = 5. Ainsi, nous avons le dividende N = 525 et le diviseur d = 8. Voir que les propriétés sont satisfaites car (525 – 5 + 8) = 528 est divisible par 8 et :
528 = 8 · 66
nombres premiers
Toi nombres premiers sont ceux qui avoir comme diviseur dans leur liste que le nombre 1 et le nombre lui-même. Pour vérifier si un nombre est premier ou non, l'une des méthodes les plus simples consiste à lister les diviseurs de ce nombre. Si des nombres supérieurs à 1 et le nombre en question apparaissent, ce n'est pas un nombre premier.
→ Vérifiez quels sont les nombres premiers entre 2 et 20. Pour cela, listons les diviseurs de tous ces nombres entre 2 et 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Les nombres premiers entre 2 et 20 sont donc :
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19}
Notez que l'ensemble provient de certains des premiers nombres premiers, cette liste continue. Notez que plus le nombre est grand, plus il devient difficile de dire s'il est premier ou non.
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Exercices résolus
question 1 – (UMC-SP) Le nombre d'éléments dans l'ensemble des diviseurs premiers de 60 est :
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Solution
Variante A
Nous allons d'abord lister les diviseurs de 60, puis regarder lesquels sont premiers.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
De ces nombres, nous avons qui sont premiers :
{2, 3, 5}
Par conséquent, le nombre de diviseurs premiers de 60 est 3.
question 2 – Écrivez tous les nombres naturels inférieurs à 100 et multiples de 15.
Solution
Nous savons que les multiples de 15 sont le résultat de la multiplication du nombre 15 par tous les nombres entiers. Puisque l'exercice demande d'écrire les entiers naturels inférieurs à 100 et qui sont des multiples de 15, il faut multiplier 15 par tous les nombres supérieurs à zéro, jusqu'à trouver le plus grand multiple avant 100, Donc:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Par conséquent, les nombres naturels inférieurs à 100 et les multiples de 15 sont :
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
question 3 – Quel est le plus grand multiple de 5 entre 100 et 1001 ?
Solution
Pour déterminer le plus grand multiple de 5 entre 100 et 1001, il suffit d'identifier le premier multiple de 5 à l'envers.
1001 n'est pas un multiple de 5, car il n'y a pas d'entier qui, multiplié par 5, donne 1001.
1000 est un multiple de 5, puisque 1000 = 5 · 200.
Par conséquent, le plus grand multiple de 5, entre 100 et 1001, est 1000.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm