Rationalisation des dénominateurs est la technique utilisée lorsqu'un fraction a un nombre irrationnel dans le dénominateur et vous voulez trouver une seconde fraction équivalente à la première fraction, mais qui n'a pas de nombre irrationnel dans son dénominateur. Pour ce faire, il est nécessaire d'effectuer des opérations mathématiques pour réécrire la fraction afin qu'elle n'ait pas de racine inexacte dans son dénominateur.
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Comment rationaliser les dénominateurs ?
Nous allons commencer par le cas le plus simple de rationalisation des dénominateurs et passer au plus complexe, mais la technique elle-même consiste à rechercher un fraction équivalente multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre commode qui permet d'éliminer la racine du dénominateur de la fraction. Découvrez ci-dessous comment procéder dans différentes situations.
Rationalisation quand il y a une racine carrée au dénominateur
Certaines fractions peuvent être représentées avec
nombres irrationnels dans les dénominateurs. Voir quelques exemples :
Lorsque le dénominateur de fraction est irrationnel, nous utilisons certaines techniques pour le transformer en un dénominateur rationnel, comme la rationalisation. quand il y a un racine carrée au dénominateur, on peut diviser en deux cas. Le premier est lorsque la fraction n'a qu'une racine dans son radical.
Exemple 1:
Pour rationaliser ce dénominateur, trouvons la fraction équivalente à celle-ci, mais qui n'a pas de dénominateur irrationnel. Pour cela, faisons multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre — dans ce cas, ce sera exactement le dénominateur de la fraction, c'est-à-dire √3.
À multiplication de fractions, nous multiplions directement. Nous savons que 1 · √3 = √3. Au dénominateur, nous avons que √3 ·√3 = √9 = 3. Avec cela, nous arrivons à ce qui suit :
On a donc une représentation de la fraction dont le dénominateur n'est pas un nombre irrationnel.
Exemple 2:
Le deuxième cas est celui où il y a un addition ou différence entre une racine inexacte.
Lorsqu'il y a une différence ou une addition de termes au dénominateur, l'un d'eux étant la racine non exacte, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. On appelle le conjugué de √2 – 1 l'inverse du deuxième nombre, c'est-à-dire √2 + 1.
En effectuant la multiplication au numérateur, il faut :
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Le dénominateur est le produit remarquable connu comme produit de la somme pour la différence. Son résultat est toujours le carré du premier terme moins le carré du deuxième terme.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Donc, en rationalisant le dénominateur de cette fraction, il faut :
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Rationalisation lorsqu'il y a une racine d'index supérieure à 2
Regardons maintenant quelques exemples où il y a au dénominateur une racine d'indices supérieure à 2.
Puisque le but est d'éliminer le radical, multiplions le dénominateur pour que la racine de ce dénominateur puisse être annulée.
Exemple 1:
Dans ce cas, pour éliminer l'exposant du radical, faisons multiplier par la racine cubique de 2² au numérateur et au dénominateur, de sorte qu'il apparaisse à l'intérieur du radical 2³ et, ainsi, il est possible d'annuler la racine cubique.
En effectuant la multiplication, nous devons :
Exemple 2 :
En utilisant le même raisonnement, multiplions le dénominateur et le numérateur par un nombre qui provoque le puissance du dénominateur à l'indice, c'est-à-dire multiplier par racine cinquième de 3 au cube afin que vous puissiez annuler le dénominateur.
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exercices résolus
question 1 – En rationalisant le dénominateur de la fraction ci-dessous, on trouve :
A) 1 + 3.
B) 2(1 + 3).
C) – 2(1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Résolution
Variante C.
Question 2 - (IFCE 2017 — adapté) En rapprochant les valeurs de √5 et √3 à la deuxième décimale, on obtient respectivement 2,23 et 1,73. Approximativement, la valeur de l'expression numérique suivante à la deuxième décimale est :
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Résolution
Alternative E.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm