Au opérations avec des ensembles ils sont union, intersection et différence. Le résultat de chacune de ces opérations est un nouvel ensemble. Pour indiquer l'union entre ensembles, on utilise le symbole ∪; pour l'intersection, le symbole ∩; et pour la différence, le symbole de soustraction\(-\). En cas de différence, il est indispensable de respecter l'ordre dans lequel l'opération sera effectuée. En d’autres termes, si A et B sont des ensembles, alors la différence entre A et B est différente de la différence entre B et A.
A lire aussi: Diagramme de Venn - représentation géométrique des ensembles et des opérations entre eux
Récapitulatif des opérations avec des ensembles
Les opérations avec des ensembles sont: l'union, l'intersection et la différence.
L'union (ou rencontre) des ensembles A et B est l'ensemble A ∪ B, formé par les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ ou\ x∈B\}\)
L'intersection des ensembles A et B est l'ensemble A ∩ B, formé par les éléments qui appartiennent à A et appartiennent à B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ et\ x∈B\}\)
La différence entre les ensembles A et B est l’ensemble A – B, formé par les éléments qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Si U (appelé ensemble de l'univers) est un ensemble qui contient tous les ensembles dans un contexte donné, alors la différence U – A, avec A ⊂ U, est appelée le complément de A. Le complément de A est formé d’éléments n’appartenant pas à A et est représenté par UNw.
\(A^c=UA=\{x; x∉A\}\)
Leçon vidéo sur les opérations avec des ensembles
Quelles sont les trois opérations avec des ensembles ?
Les trois opérations avec des ensembles sont: l’union, l’intersection et la différence.
Union d'ensembles
L'union (ou réunion) des ensembles A et B est l'ensemble A ∪ B (lire « L'union B »). Cet ensemble est constitué de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble A ou appartiennent à l’ensemble B, c’est-à-dire éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles.
En représentant les éléments de A ∪ B par x, on écrit
\(A∪B=\{x; x∈A\ ou\ x∈B\}\)
Dans l'image ci-dessous, la région orange est la ensemble UN ∪B.
Cela semble difficile? Regardons deux exemples !
Exemple 1:
Quel est l'ensemble A ∪ B, si A = {7, 8} et B = {12, 15} ?
L'ensemble A ∪ B est formé des éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. Puisque les éléments 7 et 8 appartiennent à l’ensemble A, alors tous deux doivent appartenir à l’ensemble A ∪ B. De plus, comme les éléments 12 et 15 appartiennent à l’ensemble B, alors tous deux doivent appartenir à l’ensemble A ∪ B.
Donc,
UNE ∪ B={7, 8, 12, 15}
Notez que chacun des éléments de A∪B appartient soit à l’ensemble A, soit à l’ensemble B.
Exemple 2 :
Considérons les ensembles A = {2, 5, 9} et B = {1, 9}. Quel est l’ensemble A ∪ B ?
Puisque les éléments 2, 5 et 9 appartiennent à l’ensemble A, alors ils doivent tous appartenir à l’ensemble A∪B. De plus, puisque les éléments 1 et 9 appartiennent à l’ensemble B, alors ils doivent tous appartenir à l’ensemble A ∪ B.
Notez que nous avons mentionné 9 deux fois, car cet élément appartient à l’ensemble A et à l’ensemble B. Dire que « l’ensemble A ∪ B est formé des éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B » n’exclut pas les éléments qui appartiennent simultanément aux ensembles A et B.
Ainsi, dans cet exemple, nous avons
UNE ∪ B={1, 2, 5, 9}
Notez que nous n’écrivons l’élément 9 qu’une seule fois.
Intersection d'ensembles
L’intersection des ensembles A et B est l’ensemble A ∩ B (lire « L’intersection B »). Cet ensemble est constitué de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble A C'est appartiennent à l’ensemble B. En d’autres termes, A ∩ B est composé des éléments communs des ensembles A et B.
En indiquant les éléments de A ∩ B par x, on écrit
\(A∩B=\{x; x∈A\ et\ x∈B\}\)
Dans l'image ci-dessous, la région orange est la ensemble UN ∩B.
Résolvons deux exemples sur l'intersection d'ensembles !
Exemple 1:
Considérons A = {-1, 6, 13} et B = {0, 1, 6, 13}. Quel est l’ensemble A ∩ B ?
L'ensemble A ∩ B est formé de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble A C'est appartiennent à l’ensemble B. A noter que les éléments 6 et 13 appartiennent simultanément aux ensembles A et B.
Comme ça,
UNE ∩ B={6, 13}
Exemple 2 :
Quelle est l'intersection entre les ensembles A = {0,4} et \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Notez qu’il n’y a aucun élément commun entre les ensembles A et B. Ainsi, l’intersection est un ensemble sans éléments, c’est-à-dire un ensemble vide.
Donc,
\(\)UNE ∩ B={ } = ∅
Différence entre les ensembles
La différence entre les ensembles A et B est l’ensemble A – B (lire « différence entre A et B »). Cet ensemble est composé de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble A et n'appartiennent pas à l'ensemble B.
En représentant les éléments de A – B par x, on écrit
\(AB=\{x; x∈A\ et\ x∉B\}\)
Dans l'image ci-dessous, la région orange est la ensembleA – B.
Attention: la différence entre les ensembles A et B n'est pas la différence entre les ensembles B et A, car B – A est formé de tous les éléments qui appartiennent à l'ensemble B et n'appartiennent pas à l'ensemble A.
Considérez les deux exemples ci-dessous sur la différence entre les ensembles.
Exemple 1:
Si A = {-7, 2, 100} et B = {2, 50}, alors quel est l'ensemble A – B? Qu’en est-il de l’ensemble B – A ?
L'ensembleUN B est constitué de tous les éléments appartenant à l’ensemble A C'estNon appartiennent à l’ensemble B. Notez que 2 est le seul élément de l’ensemble A qui appartient également à l’ensemble B. Ainsi, 2 n’appartient pas à l’ensemble A – B.
Donc,
A – B = {-7, 100}
De plus, l’ensemble B – A est formé de tous les éléments qui appartiennent à l’ensemble B C'estNon appartiennent à l’ensemble A. Donc,
B – A = {50}
Exemple 2 :
Quelle est la différence entre l'ensemble A = {–4, 0} et l'ensemble B = {–3} ?
Notez qu’aucun des éléments de A n’appartient à B. Ainsi, la différence A – B est l’ensemble A lui-même.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Observation: Considérons que U (appelé l’ensemble de l’univers) est un ensemble qui contient tous les autres ensembles dans une situation donnée. Comme ça, la différence U-A, avec UN⊂U, est un ensemble dit complémentaire de A et dépeint comme \(AVANT JC\).
\(A^c=UA=\{x; x∉A\}\)
Dans l'image suivante, le rectangle représente l'ensemble des univers et la région orange représente l'ensemble des univers. \(AVANT JC\).
Savoir plus: Étape par étape comment faire une division
Exercices résolus sur les opérations ensemblistes
question 1
Considérons les ensembles A = {–12, –5, 3} et B = {–10, 0, 3, 7} et classons chaque énoncé ci-dessous comme T (vrai) ou F (faux).
JE. UNE ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. UNE ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
L'ordre correct, de haut en bas, est
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Résolution
JE. FAUX.
L'élément 0 doit appartenir à l'union de A et B, puisque 0 ∈ B. Ainsi, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Vrai.
III. Vrai.
Alternative B.
question 2
Considérons A = {4, 5}, B = {6,7} et C = {7,8}. Alors, l’ensemble A ∪ B ∩ C est
UNE) {7}.
B) {8}.
C){7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Résolution
Notez que A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Par conséquent, l’ensemble A ∪ B ∩ C est l’intersection entre A ∪ B = {4, 5, 6, 7} et C = {7,8}. Bientôt,
UNE ∪ B ∩ C = {7}
Variante A.
Sources
LIMA, Elon L.. Cours d'analyse. 7 éd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et coll. Mathématiques au lycée. 11. éd. Collection des professeurs de mathématiques. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
